Номер 42.35, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.35. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 780^\circ $;

2) $ \operatorname{tg} 900^\circ $;

3) $ \cos 1200^\circ $;

4) $ \operatorname{ctg} (-585^\circ) $;

5) $ \cos \frac{11\pi}{6} $;

6) $ \sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) $.

1) Для нахождения значения $\sin 780^\circ$ воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $360^\circ$, поэтому значение функции не изменится, если из ее аргумента вычесть целое число полных оборотов.

Представим $780^\circ$ в виде суммы: $780^\circ = 720^\circ + 60^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ$.

Тогда: $\sin 780^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ$.

Значение $\sin 60^\circ$ является табличным:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для нахождения значения $\tg 900^\circ$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $180^\circ$.

Представим $900^\circ$ как кратное $180^\circ$: $900^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 0^\circ$.

Тогда: $\tg 900^\circ = \tg(5 \cdot 180^\circ + 0^\circ) = \tg 0^\circ$.

Значение $\tg 0^\circ$ равно 0.

Ответ: 0.

3) Для нахождения значения $\cos 1200^\circ$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $360^\circ$.

Выделим целое число полных оборотов в угле $1200^\circ$: $1200^\circ = 1080^\circ + 120^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 120^\circ$.

Следовательно: $\cos 1200^\circ = \cos(3 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ$.

Для вычисления $\cos 120^\circ$ используем формулу приведения: $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4) Для нахождения значения $\ctg (-585^\circ)$ используем свойство нечетности котангенса ($\ctg(-x) = -\ctg(x)$) и его периодичность (период равен $180^\circ$).

$\ctg(-585^\circ) = -\ctg(585^\circ)$.

Теперь упростим $\ctg(585^\circ)$. Выделим целое число периодов: $585^\circ = 540^\circ + 45^\circ = 3 \cdot 180^\circ + 45^\circ$.

$\ctg(585^\circ) = \ctg(3 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \ctg(45^\circ) = 1$.

Следовательно: $\ctg(-585^\circ) = -1$.

Ответ: -1.

5) Для нахождения значения $\cos \frac{11\pi}{6}$ используем формулы приведения. Период косинуса равен $2\pi$.

Представим угол $\frac{11\pi}{6}$ в удобном виде:

$\frac{11\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим значение косинуса:

$\cos \frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6})$.

Так как $\cos(2\pi - x) = \cos x$, получаем:

$\cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Для нахождения значения $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right)$ воспользуемся свойством нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$) и его периодичностью (период равен $2\pi$).

Можно пойти двумя путями. Первый путь - использовать периодичность, чтобы привести аргумент к углу в пределах от 0 до $2\pi$.

$2\pi = \frac{6\pi}{3}$. Найдем, сколько периодов нужно добавить: $3 \cdot 2\pi = 6\pi = \frac{18\pi}{3}$.

$\sin\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Значение синуса для $\frac{\pi}{3}$ является табличным:

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.