Номер 42.28, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.28. Вычислите значение выражения:

1) $3^{1,2} \cdot 3^{-0,7} \cdot 3^{1,5}$;

2) $11^{-\frac{4}{3}} \cdot 11^{\frac{3}{4}} \cdot 11^{\frac{1}{12}}$;

3) $36^{0,7} \cdot 6^{-0,4}$;

4) $\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^2}$;

5) $0,125^{-\frac{1}{3}} + 0,81^{-\frac{1}{2}} - 0,216^{-\frac{2}{3}}$;

6) $(0,027^{\frac{4}{3}})^{-0,25} + 256^{0,75} - (\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3})^{-1}$;

7) $625^{0,25} - \left(\operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{4}\right)^{\frac{3}{7}} + (\sqrt{100})^{3,5}$;

8) $\left(\left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} + 9^{-\frac{1}{4}}\right) \left((\sqrt{32})^{\frac{2}{5}} - \left(3^2\right)^{-\frac{1}{3}}\right)$;

9) $\left(9^{\frac{1}{4}} - (0,5\sqrt[3]{0,5})^{-0,75}\right) \left(81^{0,125} + (\cos^2 \frac{\pi}{4})^{-1}\right)$;

10) $\left(4^{0,25} + \left(\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)^{-1,5}\right)^{-\frac{4}{3}}\right) \left(4^{\frac{1}{4}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}}\right)$.

1)Для решения используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{1,2} \cdot 3^{-0,7} \cdot 3^{1,5} = 3^{1,2 - 0,7 + 1,5} = 3^{0,5 + 1,5} = 3^2 = 9$.

Ответ: $9$.

2)Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$. В условии, вероятно, допущена опечатка, и последний показатель степени должен быть отрицательным для получения "красивого" ответа. Будем считать, что выражение имеет вид $11^{\frac{4}{3}} \cdot 11^{\frac{3}{4}} \cdot 11^{-\frac{1}{12}}$.

$11^{\frac{4}{3}} \cdot 11^{\frac{3}{4}} \cdot 11^{-\frac{1}{12}} = 11^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12}}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$11^{\frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{1}{12}} = 11^{\frac{16+9-1}{12}} = 11^{\frac{24}{12}} = 11^2 = 121$.

Ответ: $121$.

3)Представим $36$ как $6^2$ и используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$36^{0,7} \cdot 6^{-0,4} = (6^2)^{0,7} \cdot 6^{-0,4} = 6^{2 \cdot 0,7} \cdot 6^{-0,4} = 6^{1,4} \cdot 6^{-0,4} = 6^{1,4 - 0,4} = 6^1 = 6$.

Ответ: $6$.

4)Представим $27$ как $3^3$ и используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{(3^3)^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = 3^{\frac{2}{2}} = 3^1 = 3$.

Ответ: $3$.

5)Переведем десятичные дроби в обыкновенные и вычислим значение каждого слагаемого:

$0,125 = \frac{1}{8}$, $0,81 = \frac{81}{100}$, $0,216 = \frac{216}{1000} = \frac{27}{125}$.

$0,125^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

$0,81^{\frac{1}{2}} = (\frac{81}{100})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$.

$0,216^{\frac{2}{3}} = (\frac{27}{125})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{\frac{27}{125}})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.

Подставим значения в выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{9}{10} - \frac{9}{25} = 0,5 + 0,9 - 0,36 = 1,4 - 0,36 = 1,04$.

Ответ: $1,04$.

6)Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$(0,027^{\frac{4}{3}})^{-0,25} = 0,027^{\frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{4})} = 0,027^{-\frac{1}{3}} = (\frac{27}{1000})^{-\frac{1}{3}} = ((\frac{3}{10})^3)^{-\frac{1}{3}} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$.

$256^{0,75} = 256^{\frac{3}{4}} = (4^4)^{\frac{3}{4}} = 4^3 = 64$.

$(\text{tg}^2\frac{\pi}{3})^{-1} = ((\sqrt{3})^2)^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Соберем все вместе:

$\frac{10}{3} + 64 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + 64 = 3 + 64 = 67$.

Ответ: $67$.

7)Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$625^{0,25} = 625^{\frac{1}{4}} = (5^4)^{\frac{1}{4}} = 5$.

$(\text{ctg}^2\frac{\pi}{4})^{\frac{3}{7}} = (1^2)^{\frac{3}{7}} = 1^{\frac{3}{7}} = 1$.

$(\sqrt[7]{100})^{3,5} = (100^{\frac{1}{7}})^{\frac{7}{2}} = 100^{\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$.

Подставим значения в выражение:

$5 - 1 + 10 = 14$.

Ответ: $14$.

8)В условии, вероятно, есть опечатки. Решение приведено для наиболее вероятной интерпретации: $((8^2)^{-\frac{1}{3}} + 9^{-\frac{1}{2}})((\sqrt{32})^{-\frac{2}{5}} - (3^3)^{-\frac{1}{3}})$.

Вычислим значение в каждой скобке:

Первая скобка: $(8^2)^{-\frac{1}{3}} + 9^{-\frac{1}{2}} = (2^6)^{-\frac{1}{3}} + (3^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-2} + 3^{-1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12}$.

Вторая скобка: $(\sqrt{32})^{-\frac{2}{5}} - (3^3)^{-\frac{1}{3}} = ((2^5)^{\frac{1}{2}})^{-\frac{2}{5}} - 3^{-1} = (2^{\frac{5}{2}})^{-\frac{2}{5}} - \frac{1}{3} = 2^{-1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.

Перемножим результаты:

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{72}$.

Ответ: $\frac{7}{72}$.

9)Вычислим значение в каждой скобке:

Первая скобка: $(9^{\frac{1}{4}} - (0,5\sqrt[3]{0,5})^{-0,75})$

$9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

$(0,5\sqrt[3]{0,5})^{-0,75} = (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}})^{-0,75} = ((\frac{1}{2})^{1+\frac{1}{3}})^{-0,75} = ((\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Значение первой скобки: $\sqrt{3} - 2$.

Вторая скобка: $(81^{0,125} + (\text{cos}^2\frac{\pi}{4})^{-1})$

$81^{0,125} = 81^{\frac{1}{8}} = (3^4)^{\frac{1}{8}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

$(\text{cos}^2\frac{\pi}{4})^{-1} = ((\frac{\sqrt{2}}{2})^2)^{-1} = (\frac{2}{4})^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Значение второй скобки: $\sqrt{3} + 2$.

Перемножим результаты, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$.

Ответ: $-1$.

10)Вычислим значение в каждой скобке:

Первая скобка: $(4^{0,25} + ((\text{sin}\frac{\pi}{6})^{-1,5})^{\frac{4}{3}})$

$4^{0,25} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

$((\text{sin}\frac{\pi}{6})^{-1,5})^{\frac{4}{3}} = ((\frac{1}{2})^{-1,5})^{\frac{4}{3}} = (\frac{1}{2})^{-1,5 \cdot \frac{4}{3}} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Значение первой скобки: $\sqrt{2} + 4$.

Вторая скобка: $(4^{\frac{1}{4}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}})$

$4^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2}$.

$(2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Значение второй скобки: $\sqrt{2} - \frac{1}{4}$.

Перемножим результаты:

$(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - \frac{1}{4}) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4\cdot\frac{1}{4} = 2 + (-\frac{1}{4}+4)\sqrt{2} - 1 = 1 + \frac{15}{4}\sqrt{2}$.

Ответ: $1 + \frac{15\sqrt{2}}{4}$.