Страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.21. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{(2 - \sqrt{7})^4} - \sqrt{7};$

2) $\sqrt[5]{(7 - \sqrt{35})^5} - \sqrt[6]{(\sqrt{35} - 6)^6}.$

1) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{(2-\sqrt{7})^4} - \sqrt{7}$, воспользуемся свойством арифметического корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.
В данном случае $n=2$, поэтому корень 4-й степени является корнем четной степени.
Применяем свойство: $\sqrt[4]{(2-\sqrt{7})^4} = |2-\sqrt{7}|$.
Теперь необходимо определить знак выражения под модулем. Сравним числа $2$ и $\sqrt{7}$. Для этого сравним их квадраты:
$2^2 = 4$
$(\sqrt{7})^2 = 7$
Поскольку $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$, а значит, разность $2 - \sqrt{7}$ отрицательна.
По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Следовательно, $|2-\sqrt{7}| = -(2-\sqrt{7}) = \sqrt{7}-2$.
Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$(\sqrt{7}-2) - \sqrt{7} = \sqrt{7}-2 - \sqrt{7} = -2$.
Ответ: -2

2) Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{(7-\sqrt{35})^5} - \sqrt[6]{(\sqrt{35}-6)^6}$. Оно состоит из двух частей.
Первая часть: $\sqrt[5]{(7-\sqrt{35})^5}$.
Здесь мы имеем дело с корнем нечетной степени ($n=5$). Для таких корней справедливо тождество $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого $a$.
Поэтому $\sqrt[5]{(7-\sqrt{35})^5} = 7-\sqrt{35}$.
Вторая часть: $\sqrt[6]{(\sqrt{35}-6)^6}$.
Здесь корень четной степени ($n=6$), поэтому $\sqrt[6]{a^6} = |a|$.
Следовательно, $\sqrt[6]{(\sqrt{35}-6)^6} = |\sqrt{35}-6|$.
Определим знак выражения под модулем. Сравним числа $\sqrt{35}$ и $6$. Для этого сравним их квадраты:
$(\sqrt{35})^2 = 35$
$6^2 = 36$
Поскольку $35 < 36$, то $\sqrt{35} < 6$, а значит, разность $\sqrt{35} - 6$ отрицательна.
Тогда $|\sqrt{35}-6| = -(\sqrt{35}-6) = 6-\sqrt{35}$.
Теперь объединим обе части:
$(7-\sqrt{35}) - (6-\sqrt{35}) = 7-\sqrt{35} - 6 + \sqrt{35} = 7 - 6 = 1$.
Ответ: 1

42.22. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{a^{11}}$;3) $\sqrt[4]{162m^{10}n^{7}}$;5) $\sqrt[4]{-243y^{5}}$;

2) $\sqrt[3]{-b^{16}}$;4) $\sqrt[5]{96x^{12}y^{16}}$;6) $\sqrt[6]{a^{14}b^{9}}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{a^{11}}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, так как показатель корня $n=4$ — четный. Условие $a^{11} \ge 0$ выполняется при $a \ge 0$.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны показателю корня 4. Степень $a^{11}$ можно записать как $a^{8+3} = a^8 \cdot a^3 = (a^2)^4 \cdot a^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[4]{a^{11}} = \sqrt[4]{a^8 \cdot a^3} = \sqrt[4]{(a^2)^4 \cdot a^3}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем:

$\sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{a^3}$.

Так как показатель корня четный, $\sqrt[4]{(a^2)^4} = |a^2|$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно, $|a^2| = a^2$.

В результате получаем: $a^2\sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $a^2\sqrt[4]{a^3}$.

2) В выражении $\sqrt[3]{-b^{16}}$ показатель корня $n=3$ — нечетный. Это означает, что подкоренное выражение может быть отрицательным, и знак "минус" можно вынести за знак корня.

$\sqrt[3]{-b^{16}} = \sqrt[3]{-1 \cdot b^{16}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{b^{16}} = -\sqrt[3]{b^{16}}$.

Теперь упростим $\sqrt[3]{b^{16}}$. Представим степень $b^{16}$ как $b^{15+1} = b^{15} \cdot b = (b^5)^3 \cdot b$.

Подставляем в выражение:

$-\sqrt[3]{b^{16}} = -\sqrt[3]{(b^5)^3 \cdot b} = -(\sqrt[3]{(b^5)^3} \cdot \sqrt[3]{b})$.

Для нечетного показателя корня $\sqrt[n]{x^n}=x$, поэтому $\sqrt[3]{(b^5)^3} = b^5$.

Окончательный результат: $-b^5\sqrt[3]{b}$.

Ответ: $-b^5\sqrt[3]{b}$.

3) В выражении $\sqrt[4]{162m^{10}n^7}$ показатель корня $n=4$ — четный. Выражение имеет смысл при условии $162m^{10}n^7 \ge 0$. Поскольку $162>0$ и $m^{10} \ge 0$ для любого $m$, необходимо, чтобы $n^7 \ge 0$, то есть $n \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 4.

$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.

$m^{10} = m^8 \cdot m^2 = (m^2)^4 \cdot m^2$.

$n^7 = n^4 \cdot n^3$.

$\sqrt[4]{162m^{10}n^7} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2 \cdot (m^2)^4 \cdot m^2 \cdot n^4 \cdot n^3} = \sqrt[4]{(3 \cdot m^2 \cdot n)^4 \cdot (2m^2n^3)}$.

Выносим множитель из-под корня: $|3m^2n|\sqrt[4]{2m^2n^3}$.

Так как $m^2 \ge 0$ и по условию $n \ge 0$, то $3m^2n \ge 0$. Следовательно, $|3m^2n| = 3m^2n$.

Ответ: $3m^2n\sqrt[4]{2m^2n^3}$.

4) В выражении $\sqrt[5]{96x^{12}y^{16}}$ показатель корня $n=5$ — нечетный, поэтому выражение определено для любых значений переменных $x$ и $y$.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 5.

$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.

$x^{12} = x^{10} \cdot x^2 = (x^2)^5 \cdot x^2$.

$y^{16} = y^{15} \cdot y = (y^3)^5 \cdot y$.

$\sqrt[5]{96x^{12}y^{16}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3 \cdot (x^2)^5 \cdot x^2 \cdot (y^3)^5 \cdot y} = \sqrt[5]{(2x^2y^3)^5 \cdot (3x^2y)}$.

Выносим множитель из-под знака корня: $2x^2y^3\sqrt[5]{3x^2y}$.

Ответ: $2x^2y^3\sqrt[5]{3x^2y}$.

5) В выражении $\sqrt[4]{-243y^5}$ показатель корня $n=4$ — четный. Выражение определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $-243y^5 \ge 0$.

Так как $-243 < 0$, неравенство выполняется только при $y^5 \le 0$, что эквивалентно $y \le 0$.

Представим подкоренное выражение в виде, удобном для извлечения корня:

$-243y^5 = 81 \cdot (-3) \cdot y^4 \cdot y = 3^4 \cdot y^4 \cdot (-3y) = (3y)^4 \cdot (-3y)$.

$\sqrt[4]{-243y^5} = \sqrt[4]{(3y)^4 \cdot (-3y)} = \sqrt[4]{(3y)^4} \cdot \sqrt[4]{-3y} = |3y|\sqrt[4]{-3y}$.

Из условия $y \le 0$ следует, что $3y \le 0$, поэтому модуль $|3y|$ раскрывается как $-3y$.

Также, поскольку $y \le 0$, выражение под корнем $-3y \ge 0$, что является корректным.

Ответ: $-3y\sqrt[4]{-3y}$.

6) В выражении $\sqrt[6]{a^{14}b^9}$ показатель корня $n=6$ — четный. Выражение имеет смысл при $a^{14}b^9 \ge 0$.

Так как $a^{14} = (a^7)^2 \ge 0$ для любого $a$, то условие сводится к $b^9 \ge 0$, что означает $b \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 6.

$a^{14} = a^{12} \cdot a^2 = (a^2)^6 \cdot a^2$.

$b^9 = b^6 \cdot b^3$.

$\sqrt[6]{a^{14}b^9} = \sqrt[6]{a^{12}a^2b^6b^3} = \sqrt[6]{(a^{12}b^6) \cdot (a^2b^3)} = \sqrt[6]{(a^2b)^6 \cdot (a^2b^3)}$.

Выносим множитель: $|a^2b|\sqrt[6]{a^2b^3}$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ и по условию $b \ge 0$, их произведение $a^2b \ge 0$. Следовательно, $|a^2b| = a^2b$.

Ответ: $a^2b\sqrt[6]{a^2b^3}$.

42.23. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{5}{\sqrt[3]{4}}$;

2) $\frac{12}{\sqrt[4]{27}}$;

3) $\frac{6}{\sqrt[5]{8}}$;

4) $\frac{14}{\sqrt[3]{-49}}$;

5) $\frac{9}{4 - \sqrt{7}}$;

6) $\frac{1}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}$;

7) $\frac{6}{2 - \sqrt[3]{5}}$;

8) $\frac{8}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{\sqrt[3]{4}} $, представим знаменатель в виде $ \sqrt[3]{2^2} $. Для получения в знаменателе целого числа, необходимо, чтобы подкоренное выражение стало кубом. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[3]{2} $:

$ \frac{5}{\sqrt[3]{4}} = \frac{5}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{5\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{5\sqrt[3]{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{5\sqrt[3]{2}}{2} $

2) В дроби $ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} $ знаменатель равен $ \sqrt[4]{3^3} $. Чтобы избавиться от корня, нужно домножить подкоренное выражение до четвертой степени. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3} $:

$ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} = \frac{12}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{12 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{3} = 4\sqrt[4]{3} $

Ответ: $ 4\sqrt[4]{3} $

3) В дроби $ \frac{6}{\sqrt[5]{8}} $ представим знаменатель как $ \sqrt[5]{2^3} $. Чтобы подкоренное выражение стало пятой степенью, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4} $:

$ \frac{6}{\sqrt[5]{8}} = \frac{6}{\sqrt[5]{2^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{2^2}} = \frac{6\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{6\sqrt[5]{4}}{2} = 3\sqrt[5]{4} $

Ответ: $ 3\sqrt[5]{4} $

4) В дроби $ \frac{14}{\sqrt[3]{-49}} $ вынесем знак минус из-под знака кубического корня: $ \sqrt[3]{-49} = -\sqrt[3]{49} = -\sqrt[3]{7^2} $. Теперь домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{7} $:

$ \frac{14}{\sqrt[3]{-49}} = \frac{14}{-\sqrt[3]{7^2}} = -\frac{14 \cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{7}} = -\frac{14\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^3}} = -\frac{14\sqrt[3]{7}}{7} = -2\sqrt[3]{7} $

Ответ: $ -2\sqrt[3]{7} $

5) Для дроби $ \frac{9}{4 - \sqrt{7}} $ используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ 4 + \sqrt{7} $:

$ \frac{9}{4 - \sqrt{7}} = \frac{9 \cdot (4 + \sqrt{7})}{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{9} = 4 + \sqrt{7} $

Ответ: $ 4 + \sqrt{7} $

6) В дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} $ знаменатель имеет вид $ a+b $, где $ a = \sqrt[3]{3} $ и $ b = \sqrt[3]{2} $. Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $ a^2-ab+b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} $:

$ \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{(\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{3 + 2} = \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{5} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{5} $

7) В дроби $ \frac{6}{2 - \sqrt[3]{5}} $ знаменатель имеет вид $ a-b $, где $ a = 2 $ и $ b = \sqrt[3]{5} $. Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $ a^2+ab+b^2 = 2^2 + 2\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 = 4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25} $:

$ \frac{6 \cdot (4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{(2 - \sqrt[3]{5})(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{2^3 - (\sqrt[3]{5})^3} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{8 - 5} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{3} $

Сократим дробь на 3: $ 2(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25}) = 8 + 4\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{25} $.

Ответ: $ 8 + 4\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{25} $

8) Знаменатель дроби $ \frac{8}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1} $ представляет собой неполный квадрат разности $ a^2-ab+b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{5} $ и $ b = 1 $. Чтобы избавиться от иррациональности, используем формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Домножим числитель и знаменатель на $ a+b = \sqrt[3]{5} + 1 $:

$ \frac{8 \cdot (\sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1)(\sqrt[3]{5} + 1)} = \frac{8(\sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{5})^3 + 1^3} = \frac{8(\sqrt[3]{5} + 1)}{5 + 1} = \frac{8(\sqrt[3]{5} + 1)}{6} $

Сократим дробь на 2: $ \frac{4(\sqrt[3]{5} + 1)}{3} $.

Ответ: $ \frac{4(\sqrt[3]{5} + 1)}{3} $

42.24. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt{b\sqrt[3]{b^2}}$;

3) $\sqrt[5]{c\sqrt[3]{c}}$;

4) $\sqrt[12]{8}$;

5) $\sqrt[4]{9\sqrt[3]{9}}$;

6) $\sqrt[6]{2\sqrt[5]{2}}$.

1) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{a\sqrt{a}} $, внесем множитель $a$ под знак внутреннего корня. Помним, что квадратный корень имеет показатель 2. Используем свойство $x \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n y}$.
$ \sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a^2 \cdot a}} $
Упростим выражение под внутренним корнем:
$ \sqrt{\sqrt{a^3}} $
Теперь используем свойство корня из корня $ \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} $:
$ \sqrt[2 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[4]{a^3} $
Ответ: $ \sqrt[4]{a^3} $

2) Упростим выражение $ \sqrt[3]{b\sqrt[3]{b^2}} $. Внесем множитель $b$ под знак внутреннего кубического корня:
$ \sqrt[3]{b\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{b^3 \cdot b^2}} $
Сложим степени под внутренним корнем:
$ \sqrt[3]{\sqrt[3]{b^{3+2}}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{b^5}} $
Применим свойство корня из корня $ \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} $:
$ \sqrt[3 \cdot 3]{b^5} = \sqrt[9]{b^5} $
Ответ: $ \sqrt[9]{b^5} $

3) Упростим выражение $ \sqrt[5]{c\sqrt[3]{c}} $. Внесем множитель $c$ под знак внутреннего кубического корня:
$ \sqrt[5]{c\sqrt[3]{c}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{c^3 \cdot c}} $
Упростим подкоренное выражение:
$ \sqrt[5]{\sqrt[3]{c^4}} $
Перемножим показатели корней:
$ \sqrt[5 \cdot 3]{c^4} = \sqrt[15]{c^4} $
Ответ: $ \sqrt[15]{c^4} $

4) Для упрощения выражения $ \sqrt[12]{8} $ представим число 8 в виде степени числа 2:
$ 8 = 2^3 $
Тогда выражение примет вид:
$ \sqrt[12]{2^3} $
Используя представление корня в виде степени с рациональным показателем $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $, получаем:
$ 2^{3/12} $
Сократим дробь в показателе степени:
$ 2^{1/4} $
Запишем результат в виде корня:
$ \sqrt[4]{2} $
Ответ: $ \sqrt[4]{2} $

5) Упростим выражение $ \sqrt[4]{9\sqrt[3]{9}} $. Представим корни в виде степеней с рациональными показателями.
$ \sqrt[4]{9\sqrt[3]{9}} = \sqrt[4]{9^1 \cdot 9^{1/3}} $
Сложим показатели степеней под внешним корнем, используя свойство $ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $:
$ \sqrt[4]{9^{1 + 1/3}} = \sqrt[4]{9^{4/3}} $
Теперь применим свойство $ (x^a)^b = x^{ab} $:
$ (9^{4/3})^{1/4} = 9^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}} = 9^{1/3} $
Запишем результат в виде корня:
$ \sqrt[3]{9} $
Ответ: $ \sqrt[3]{9} $

6) Упростим выражение $ \sqrt[6]{2\sqrt[5]{2}} $, используя степени с рациональными показателями.
$ \sqrt[6]{2\sqrt[5]{2}} = \sqrt[6]{2^1 \cdot 2^{1/5}} $
Сложим показатели степеней внутри:
$ \sqrt[6]{2^{1 + 1/5}} = \sqrt[6]{2^{6/5}} $
Преобразуем в степень с рациональным показателем:
$ (2^{6/5})^{1/6} = 2^{\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6}} = 2^{1/5} $
Запишем ответ в виде корня:
$ \sqrt[5]{2} $
Ответ: $ \sqrt[5]{2} $

42.25. Сравните числа:

1) $\sqrt[6]{80}$ и $\sqrt[3]{9}$;

2) $\sqrt[3]{6}$ и $\sqrt{5}$;

3) $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt{3}$;

4) $\sqrt[4]{27}$ и $\sqrt[3]{9}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[6]{80}$ и $\sqrt[3]{9}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 6 и 3 равно 6.

Первое число уже имеет показатель 6: $\sqrt[6]{80}$.

Преобразуем второе число, приведя его к корню 6-й степени:

$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3 \cdot 2]{9^2} = \sqrt[6]{81}$.

Теперь, когда показатели корней одинаковы, мы можем сравнить подкоренные выражения: $80$ и $81$.

Поскольку $80 < 81$, то и $\sqrt[6]{80} < \sqrt[6]{81}$.

Следовательно, $\sqrt[6]{80} < \sqrt[3]{9}$.

Ответ: $\sqrt[6]{80} < \sqrt[3]{9}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{6}$ и $\sqrt{5}$. Показатели корней — 3 и 2. Наименьшее общее кратное для 3 и 2 равно 6.

Приведем оба числа к корню 6-й степени:

$\sqrt[3]{6} = \sqrt[3 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[6]{36}$.

$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $36$ и $125$.

Так как $36 < 125$, то $\sqrt[6]{36} < \sqrt[6]{125}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{6} < \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6} < \sqrt{5}$.

3) Сравним числа $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt{3}$. Показатели корней — 4 и 2. Наименьший общий показатель — 4.

Первое число $\sqrt[4]{15}$ уже имеет нужный показатель.

Преобразуем второе число:

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[4]{9}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $15$ и $9$.

Поскольку $15 > 9$, то $\sqrt[4]{15} > \sqrt[4]{9}$.

Следовательно, $\sqrt[4]{15} > \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{15} > \sqrt{3}$.

4) Сравним числа $\sqrt[4]{27}$ и $\sqrt[3]{9}$. Показатели корней — 4 и 3. Наименьшее общее кратное для 4 и 3 равно 12.

Приведем оба числа к корню 12-й степени. Для удобства вычислений представим подкоренные выражения в виде степеней числа 3: $27=3^3$ и $9=3^2$.

$\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(3^3)^3} = \sqrt[12]{3^{3 \cdot 3}} = \sqrt[12]{3^9}$.

$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{(3^2)^4} = \sqrt[12]{3^{2 \cdot 4}} = \sqrt[12]{3^8}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $3^9$ и $3^8$.

Так как основание степени $3 > 1$ и показатель $9 > 8$, то $3^9 > 3^8$.

Следовательно, $\sqrt[12]{3^9} > \sqrt[12]{3^8}$, а значит $\sqrt[4]{27} > \sqrt[3]{9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{27} > \sqrt[3]{9}$.

42.26. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$;

2) $\frac{\sqrt[6]{a}-2}{\sqrt[3]{a}-4}$;

3) $\frac{m-\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt{m}-\sqrt[4]{m}}$;

4) $\frac{\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9}{x-27}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$, представим числитель как разность квадратов, используя свойство корней $\sqrt{x} = (\sqrt[4]{x})^2$.

Числитель: $\sqrt{a}-\sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2$.

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$.

Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \ge 0, b \ge 0$).

Ответ: $\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}$.

2) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[6]{a}-2}{\sqrt[3]{a}-4}$, представим знаменатель как разность квадратов.

Заметим, что $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$ и $4 = 2^2$.

Используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, разложим знаменатель на множители:

$\sqrt[3]{a}-4 = (\sqrt[6]{a})^2 - 2^2 = (\sqrt[6]{a}-2)(\sqrt[6]{a}+2)$.

Подставим разложенное выражение в знаменатель дроби:

$\frac{\sqrt[6]{a}-2}{(\sqrt[6]{a}-2)(\sqrt[6]{a}+2)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[6]{a}-2)$ (при условии $a \ge 0$ и $a \neq 64$).

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a}+2}$.

3) Чтобы сократить дробь $\frac{m-\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt{m}-\sqrt[4]{m}}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.

В числителе вынесем за скобки $\sqrt[4]{m^3}$:

$m-\sqrt[4]{m^3} = (\sqrt[4]{m})^4 - (\sqrt[4]{m})^3 = (\sqrt[4]{m})^3(\sqrt[4]{m}-1) = \sqrt[4]{m^3}(\sqrt[4]{m}-1)$.

В знаменателе вынесем за скобки $\sqrt[4]{m}$:

$\sqrt{m}-\sqrt[4]{m} = (\sqrt[4]{m})^2 - \sqrt[4]{m} = \sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-1)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{m^3}(\sqrt[4]{m}-1)}{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-1)}$

Сокращаем общий множитель $(\sqrt[4]{m}-1)$ (при $m>0, m \neq 1$).

$\frac{\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt[4]{m}} = \sqrt[4]{\frac{m^3}{m}} = \sqrt[4]{m^2} = \sqrt{m}$.

Ответ: $\sqrt{m}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9}{x-27}$, разложим знаменатель на множители.

Знаменатель $x-27$ представляет собой разность кубов, так как $x = (\sqrt[3]{x})^3$ и $27 = 3^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x-27 = (\sqrt[3]{x})^3 - 3^3 = (\sqrt[3]{x}-3)((\sqrt[3]{x})^2 + 3\sqrt[3]{x} + 3^2) = (\sqrt[3]{x}-3)(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9)$.

Подставим это разложение в знаменатель дроби:

$\frac{\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9}{(\sqrt[3]{x}-3)(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9)}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9)$, который является неполным квадратом суммы и всегда отличен от нуля. Сокращение возможно при $x \neq 27$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x}-3}$.

42.27. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$;

2) $y = x^{-0.3}$;

3) $y = (x + 6)^{2.6}$;

4) $y = (x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{8}}$.

1) Область определения степенной функции $y = x^a$ зависит от показателя степени $a$. В данном случае, функция $y = x^{\frac{5}{6}}$. Показатель степени $a = \frac{5}{6}$ является положительным рациональным числом. Функцию можно представить в виде корня: $y = \sqrt[6]{x^5}$. Поскольку показатель корня (знаменатель дроби в показателе степени) равен 6, то есть является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае, основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Таким образом, мы имеем условие: $x \ge 0$.
Ответ: $[0, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^{-0,3}$. Представим показатель степени в виде обыкновенной дроби: $a = -0,3 = -\frac{3}{10}$. Функция принимает вид: $y = x^{-\frac{3}{10}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{10}}} = \frac{1}{\sqrt[10]{x^3}}$. Для нахождения области определения необходимо учесть два условия:
1. Так как знаменатель показателя степени (10) — четное число, основание степени должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Так как показатель степени отрицательный, выражение находится в знаменателе, который не может быть равен нулю. Следовательно, $x^{\frac{3}{10}} \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем строгое неравенство $x > 0$.
Ответ: $(0, +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = (x + 6)^{2,6}$. Представим показатель степени $a = 2,6$ в виде несократимой обыкновенной дроби: $a = 2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$. Таким образом, функцию можно записать как $y = (x+6)^{\frac{13}{5}} = \sqrt[5]{(x+6)^{13}}$. Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 5 — это нечетное число. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Следовательно, основание степени $(x+6)$ может быть любым действительным числом. Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{8}}$. Это степенная функция, у которой основание — квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 7$, а показатель степени $a = -\frac{1}{8}$ — отрицательное рациональное число. Поскольку показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю. Поскольку знаменатель показателя степени (8) — четное число, основание степени должно быть неотрицательным. Объединяя эти два требования, получаем, что основание степени должно быть строго положительным: $x^2 - 6x - 7 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$. $x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$. $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$. Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения квадратного трехчлена положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями. Решением неравенства $x^2 - 6x - 7 > 0$ является объединение интервалов $x < -1$ и $x > 7$.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (7, +\infty)$.

42.28. Вычислите значение выражения:

1) $3^{1,2} \cdot 3^{-0,7} \cdot 3^{1,5}$;

2) $11^{-\frac{4}{3}} \cdot 11^{\frac{3}{4}} \cdot 11^{\frac{1}{12}}$;

3) $36^{0,7} \cdot 6^{-0,4}$;

4) $\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^2}$;

5) $0,125^{-\frac{1}{3}} + 0,81^{-\frac{1}{2}} - 0,216^{-\frac{2}{3}}$;

6) $(0,027^{\frac{4}{3}})^{-0,25} + 256^{0,75} - (\operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{3})^{-1}$;

7) $625^{0,25} - \left(\operatorname{ctg}^2 \frac{\pi}{4}\right)^{\frac{3}{7}} + (\sqrt{100})^{3,5}$;

8) $\left(\left(8^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} + 9^{-\frac{1}{4}}\right) \left((\sqrt{32})^{\frac{2}{5}} - \left(3^2\right)^{-\frac{1}{3}}\right)$;

9) $\left(9^{\frac{1}{4}} - (0,5\sqrt[3]{0,5})^{-0,75}\right) \left(81^{0,125} + (\cos^2 \frac{\pi}{4})^{-1}\right)$;

10) $\left(4^{0,25} + \left(\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)^{-1,5}\right)^{-\frac{4}{3}}\right) \left(4^{\frac{1}{4}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}}\right)$.

1)Для решения используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{1,2} \cdot 3^{-0,7} \cdot 3^{1,5} = 3^{1,2 - 0,7 + 1,5} = 3^{0,5 + 1,5} = 3^2 = 9$.

Ответ: $9$.

2)Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n \cdot a^k = a^{m+n+k}$. В условии, вероятно, допущена опечатка, и последний показатель степени должен быть отрицательным для получения "красивого" ответа. Будем считать, что выражение имеет вид $11^{\frac{4}{3}} \cdot 11^{\frac{3}{4}} \cdot 11^{-\frac{1}{12}}$.

$11^{\frac{4}{3}} \cdot 11^{\frac{3}{4}} \cdot 11^{-\frac{1}{12}} = 11^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12}}$

Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$11^{\frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{1}{12}} = 11^{\frac{16+9-1}{12}} = 11^{\frac{24}{12}} = 11^2 = 121$.

Ответ: $121$.

3)Представим $36$ как $6^2$ и используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$36^{0,7} \cdot 6^{-0,4} = (6^2)^{0,7} \cdot 6^{-0,4} = 6^{2 \cdot 0,7} \cdot 6^{-0,4} = 6^{1,4} \cdot 6^{-0,4} = 6^{1,4 - 0,4} = 6^1 = 6$.

Ответ: $6$.

4)Представим $27$ как $3^3$ и используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{(3^3)^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{3^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}} = 3^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = 3^{\frac{2}{2}} = 3^1 = 3$.

Ответ: $3$.

5)Переведем десятичные дроби в обыкновенные и вычислим значение каждого слагаемого:

$0,125 = \frac{1}{8}$, $0,81 = \frac{81}{100}$, $0,216 = \frac{216}{1000} = \frac{27}{125}$.

$0,125^{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

$0,81^{\frac{1}{2}} = (\frac{81}{100})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$.

$0,216^{\frac{2}{3}} = (\frac{27}{125})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{\frac{27}{125}})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.

Подставим значения в выражение:

$\frac{1}{2} + \frac{9}{10} - \frac{9}{25} = 0,5 + 0,9 - 0,36 = 1,4 - 0,36 = 1,04$.

Ответ: $1,04$.

6)Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$(0,027^{\frac{4}{3}})^{-0,25} = 0,027^{\frac{4}{3} \cdot (-\frac{1}{4})} = 0,027^{-\frac{1}{3}} = (\frac{27}{1000})^{-\frac{1}{3}} = ((\frac{3}{10})^3)^{-\frac{1}{3}} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$.

$256^{0,75} = 256^{\frac{3}{4}} = (4^4)^{\frac{3}{4}} = 4^3 = 64$.

$(\text{tg}^2\frac{\pi}{3})^{-1} = ((\sqrt{3})^2)^{-1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Соберем все вместе:

$\frac{10}{3} + 64 - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + 64 = 3 + 64 = 67$.

Ответ: $67$.

7)Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

$625^{0,25} = 625^{\frac{1}{4}} = (5^4)^{\frac{1}{4}} = 5$.

$(\text{ctg}^2\frac{\pi}{4})^{\frac{3}{7}} = (1^2)^{\frac{3}{7}} = 1^{\frac{3}{7}} = 1$.

$(\sqrt[7]{100})^{3,5} = (100^{\frac{1}{7}})^{\frac{7}{2}} = 100^{\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$.

Подставим значения в выражение:

$5 - 1 + 10 = 14$.

Ответ: $14$.

8)В условии, вероятно, есть опечатки. Решение приведено для наиболее вероятной интерпретации: $((8^2)^{-\frac{1}{3}} + 9^{-\frac{1}{2}})((\sqrt{32})^{-\frac{2}{5}} - (3^3)^{-\frac{1}{3}})$.

Вычислим значение в каждой скобке:

Первая скобка: $(8^2)^{-\frac{1}{3}} + 9^{-\frac{1}{2}} = (2^6)^{-\frac{1}{3}} + (3^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-2} + 3^{-1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3+4}{12} = \frac{7}{12}$.

Вторая скобка: $(\sqrt{32})^{-\frac{2}{5}} - (3^3)^{-\frac{1}{3}} = ((2^5)^{\frac{1}{2}})^{-\frac{2}{5}} - 3^{-1} = (2^{\frac{5}{2}})^{-\frac{2}{5}} - \frac{1}{3} = 2^{-1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$.

Перемножим результаты:

$\frac{7}{12} \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{72}$.

Ответ: $\frac{7}{72}$.

9)Вычислим значение в каждой скобке:

Первая скобка: $(9^{\frac{1}{4}} - (0,5\sqrt[3]{0,5})^{-0,75})$

$9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

$(0,5\sqrt[3]{0,5})^{-0,75} = (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}})^{-0,75} = ((\frac{1}{2})^{1+\frac{1}{3}})^{-0,75} = ((\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{4}} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Значение первой скобки: $\sqrt{3} - 2$.

Вторая скобка: $(81^{0,125} + (\text{cos}^2\frac{\pi}{4})^{-1})$

$81^{0,125} = 81^{\frac{1}{8}} = (3^4)^{\frac{1}{8}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.

$(\text{cos}^2\frac{\pi}{4})^{-1} = ((\frac{\sqrt{2}}{2})^2)^{-1} = (\frac{2}{4})^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.

Значение второй скобки: $\sqrt{3} + 2$.

Перемножим результаты, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$.

Ответ: $-1$.

10)Вычислим значение в каждой скобке:

Первая скобка: $(4^{0,25} + ((\text{sin}\frac{\pi}{6})^{-1,5})^{\frac{4}{3}})$

$4^{0,25} = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

$((\text{sin}\frac{\pi}{6})^{-1,5})^{\frac{4}{3}} = ((\frac{1}{2})^{-1,5})^{\frac{4}{3}} = (\frac{1}{2})^{-1,5 \cdot \frac{4}{3}} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.

Значение первой скобки: $\sqrt{2} + 4$.

Вторая скобка: $(4^{\frac{1}{4}} - (2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}})$

$4^{\frac{1}{4}} = \sqrt{2}$.

$(2\sqrt{2})^{-\frac{4}{3}} = (2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}})^{-\frac{4}{3}} = (2^{\frac{3}{2}})^{-\frac{4}{3}} = 2^{\frac{3}{2} \cdot (-\frac{4}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Значение второй скобки: $\sqrt{2} - \frac{1}{4}$.

Перемножим результаты:

$(\sqrt{2} + 4)(\sqrt{2} - \frac{1}{4}) = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} - \frac{1}{4}\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 4\cdot\frac{1}{4} = 2 + (-\frac{1}{4}+4)\sqrt{2} - 1 = 1 + \frac{15}{4}\sqrt{2}$.

Ответ: $1 + \frac{15\sqrt{2}}{4}$.