Страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.46. Решите уравнение:

1) $2\sin\left(\frac{x}{6}+\frac{\pi}{12}\right)+2=0;$

2) $2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+\sqrt{3}=0;$

3) $3+\sqrt{3}\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0;$

4) $4\operatorname{ctg}(3x-9)-8=0.$

1) $2\sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12}\right) + 2 = 0$

Сначала выразим синус из уравнения:

$2\sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12}\right) = -2$

$\sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12}\right) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\sin(t) = -1$ имеет вид $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{12}$ в правую часть:

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{x}{6} = -\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

$\frac{x}{6} = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n$

Умножим обе части уравнения на 6:

$x = 6 \cdot \left(-\frac{7\pi}{12} + 2\pi n\right)$

$x = -\frac{42\pi}{12} + 12\pi n$

$x = -\frac{7\pi}{2} + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{7\pi}{2} + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) + \sqrt{3} = 0$

Выразим косинус из уравнения:

$2\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = -\sqrt{3}$

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как косинус является четной функцией ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), мы можем поменять знак аргумента:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$. В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выразим $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Рассмотрим два случая:

1. С положительным знаком:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

$x = 2 \cdot \left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n$

2. С отрицательным знаком:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = -\pi + 4\pi n$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = -\pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + \sqrt{3}\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

Выразим тангенс из уравнения:

$\sqrt{3}\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -3$

$\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Общее решение для уравнения $\text{tg}(t) = a$ имеет вид $t = \text{arctg}(a) + \pi n$. В нашем случае $a = -\sqrt{3}$, и $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$x = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4) $4\text{ctg}(3x - 9) - 8 = 0$

Выразим котангенс из уравнения:

$4\text{ctg}(3x - 9) = 8$

$\text{ctg}(3x - 9) = 2$

Общее решение для уравнения $\text{ctg}(t) = a$ имеет вид $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$.

$3x - 9 = \text{arcctg}(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$3x = 9 + \text{arcctg}(2) + \pi n$

$x = \frac{9 + \text{arcctg}(2) + \pi n}{3}$

$x = 3 + \frac{1}{3}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 3 + \frac{1}{3}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

42.47. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$

Дано тригонометрическое уравнение:

$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $

Для решения этого уравнения найдем общее решение. Аргумент синуса $ \left(x + \frac{\pi}{3}\right) $ должен быть равен углам, синус которых равен $ \frac{1}{2} $.

Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{1}{2} $, и $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, для аргумента синуса получаем:

$ x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Выразим $ x $:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Для нахождения наименьшего положительного корня рассмотрим две серии решений, соответствующие четным и нечетным значениям $ n $.

1. Пусть $ n $ — четное число, то есть $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi(2k) $

$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Нам нужен наименьший положительный корень, то есть $ x > 0 $.

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k > 0 $

$ 2\pi k > \frac{\pi}{6} $

$ k > \frac{1}{12} $

Наименьшее целое $ k $, удовлетворяющее этому условию, это $ k = 1 $.

Подставим $ k = 1 $ в формулу для $ x $:

$ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(1) = \frac{11\pi}{6} $

2. Пусть $ n $ — нечетное число, то есть $ n = 2k + 1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) $

$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi $

$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Найдем наименьший положительный корень из этой серии, решив неравенство $ x > 0 $.

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k > 0 $

$ 2\pi k > -\frac{\pi}{2} $

$ k > -\frac{1}{4} $

Наименьшее целое $ k $, удовлетворяющее этому условию, это $ k = 0 $.

Подставим $ k = 0 $ в формулу для $ x $:

$ x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi(0) = \frac{\pi}{2} $

Теперь сравним полученные положительные корни: $ x_1 = \frac{11\pi}{6} $ и $ x_2 = \frac{\pi}{2} $.

Поскольку $ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} $, очевидно, что $ \frac{3\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} $.

Следовательно, наименьший положительный корень уравнения — это $ \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $

42.48. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

$\cos \left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Дано тригонометрическое уравнение $\cos(2x - \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Для его решения сначала найдем общее решение для аргумента косинуса. Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

В нашем случае аргумент $t = 2x - \frac{2\pi}{3}$, а значение $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставив это значение в общую формулу, получаем: $2x - \frac{2\pi}{3} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. Это уравнение необходимо решить относительно $x$. Разобьем его на два случая.

В первом случае рассмотрим знак «плюс»:

$2x - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Выразим $2x$:
$2x = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$2x = \frac{9\pi + 8\pi}{12} + 2\pi n = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n$
Разделив на 2, получим первую серию корней:
$x = \frac{17\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Во втором случае рассмотрим знак «минус»:

$2x - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Выразим $2x$:
$2x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$2x = \frac{-9\pi + 8\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$
Разделив на 2, получим вторую серию корней:
$x = -\frac{\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь, согласно условию задачи, нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого проанализируем обе серии решений.

Для первой серии $x = \frac{17\pi}{24} + \pi n$, найдем такое целое $n$, при котором корень будет отрицательным и максимально близким к нулю. Решим неравенство $\frac{17\pi}{24} + \pi n < 0$, что равносильно $n < -\frac{17}{24}$. Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n = -1$. Подставив его, находим корень: $x = \frac{17\pi}{24} - \pi = \frac{17\pi - 24\pi}{24} = -\frac{7\pi}{24}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{24} + \pi n$, решим неравенство $-\frac{\pi}{24} + \pi n < 0$, что равносильно $n < \frac{1}{24}$. Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n = 0$. Подставив его, находим корень: $x = -\frac{\pi}{24} + 0 = -\frac{\pi}{24}$.

Мы получили два кандидата на наибольший отрицательный корень: $-\frac{7\pi}{24}$ и $-\frac{\pi}{24}$. Сравним их. Наибольшим из двух отрицательных чисел является то, которое ближе к нулю (имеет меньший модуль). Так как $-\frac{\pi}{24} > -\frac{7\pi}{24}$, то наибольший отрицательный корень уравнения равен $-\frac{\pi}{24}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{24}$.

42.49. Сколько корней уравнения $\text{tg} \frac{x}{2} = -1$ принадлежат промежутку $\left[0; \frac{9\pi}{2}\right]$?

Сначала найдем общее решение уравнения $\text{tg}\frac{x}{2} = -1$.

Аргумент тангенса $\frac{x}{2}$ можно выразить через арктангенс:
$\frac{x}{2} = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Поскольку значение $\text{arctg}(-1)$ равно $-\frac{\pi}{4}$, получаем:
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь выразим $x$, умножив обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right)$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Далее необходимо найти, сколько корней из этой серии принадлежит промежутку $\left[0; \frac{9\pi}{2}\right]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:
$0 \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{9\pi}{2}$

Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства:
$0 + \frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n + \frac{\pi}{2} \le \frac{9\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \le 2\pi n \le \frac{10\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \le 2\pi n \le 5\pi$

Разделим все части неравенства на $2\pi$:
$\frac{\pi/2}{2\pi} \le \frac{2\pi n}{2\pi} \le \frac{5\pi}{2\pi}$
$\frac{1}{4} \le n \le \frac{5}{2}$
$0.25 \le n \le 2.5$

Так как $n$ должно быть целым числом, этому неравенству удовлетворяют значения $n=1$ и $n=2$.

Таким образом, на заданном промежутке лежат два корня уравнения.
При $n=1$: $x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(1) = \frac{3\pi}{2}$.
При $n=2$: $x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(2) = \frac{7\pi}{2}$.
Оба корня $\frac{3\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{2}$ принадлежат промежутку $\left[0; \frac{9\pi}{2}\right]$.

Ответ: 2

42.50. Вычислите значение выражения:

1) $ \cos \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right); $

2) $ \sin \left( \arcsin \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{2} \right); $

3) $ \tg \left( 2\arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right); $

4) $ \ctg \left( 3\arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right). $

1) Вычислим значение выражения $ \cos\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
По определению обратных тригонометрических функций находим значения арккосинуса и арксинуса:
$ \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] $.
$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Подставляем найденные значения в исходное выражение:
$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Вычисляем значение косинуса:
$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

2) Вычислим значение выражения $ \sin\left(\arcsin\frac{1}{2} + \arccos\frac{1}{2}\right) $.
Используем основное тригонометрическое тождество для обратных функций: $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $ для любого $ x \in [-1, 1] $.
В нашем случае $ x = \frac{1}{2} $, что удовлетворяет условию $ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $.
Следовательно, $ \arcsin\frac{1}{2} + \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $.
Подставляем это значение в выражение:
$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

3) Вычислим значение выражения $ \text{tg}\left(2\text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) $.
Сначала найдем значение арктангенса:
$ \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \text{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ -\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Подставляем найденное значение в исходное выражение:
$ \text{tg}\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \text{tg}\left(-\frac{2\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) $.
Используя свойство нечетности тангенса $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $, получаем:
$ \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.

4) Вычислим значение выражения $ \text{ctg}\left(3\text{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) $.
Найдем значение арккосинуса. Используем свойство $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $:
$ \text{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Подставляем найденное значение в исходное выражение:
$ \text{ctg}\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) = \text{ctg}\left(\frac{15\pi}{6}\right) = \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2}\right) $.
Учитывая периодичность котангенса (период $ \pi $), можно упростить аргумент:
$ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) $.
Вычисляем значение котангенса:
$ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $.
Ответ: $ 0 $.

42.51. Найдите область определения функции:

1) $y = \arcsin(x - 5)$

2) $y = \arccos(x^2 - 15)$

3) $y = \operatorname{arctg}\sqrt{x + 2}$

1) Область определения функции $y = \arcsin(x - 5)$ находится из условия, что аргумент функции арксинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.
Таким образом, мы должны решить двойное неравенство:
$-1 \le x - 5 \le 1$
Прибавим 5 ко всем частям неравенства:
$-1 + 5 \le x - 5 + 5 \le 1 + 5$
$4 \le x \le 6$
Следовательно, область определения функции — это отрезок $[4; 6]$.
Ответ: $x \in [4; 6]$.

2) Область определения функции $y = \arccos(x^2 - 15)$ находится из условия, что аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.
Получаем двойное неравенство:
$-1 \le x^2 - 15 \le 1$
Прибавим 15 ко всем частям неравенства:
$-1 + 15 \le x^2 \le 1 + 15$
$14 \le x^2 \le 16$
Это неравенство равносильно системе двух неравенств:
$\begin{cases} x^2 \ge 14 \\ x^2 \le 16 \end{cases}$
Решим каждое неравенство отдельно.
Из $x^2 \ge 14$ следует, что $|x| \ge \sqrt{14}$, то есть $x \in (-\infty; -\sqrt{14}] \cup [\sqrt{14}; +\infty)$.
Из $x^2 \le 16$ следует, что $|x| \le 4$, то есть $x \in [-4; 4]$.
Теперь найдем пересечение этих двух множеств. Это будет объединение отрезков $[-4; -\sqrt{14}]$ и $[\sqrt{14}; 4]$.
Ответ: $x \in [-4; -\sqrt{14}] \cup [\sqrt{14}; 4]$.

3) Для функции $y = \operatorname{arctg}\sqrt{x + 2}$ нужно учесть два условия.
Во-первых, функция арктангенс, $\operatorname{arctg}(u)$, определена для любых действительных значений аргумента $u$.
Во-вторых, аргументом является выражение $\sqrt{x+2}$, которое определено только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.
Следовательно, мы должны решить неравенство:
$x + 2 \ge 0$
$x \ge -2$
Таким образом, область определения функции — это луч $[-2; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

42.52. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{4}$;

2) $y = 5 - 3\text{arcctg } 2x$.

1) Чтобы найти область значений функции $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{4}$, необходимо последовательно применить преобразования к области значений функции $f(x) = \arcsin x$.
Область значений функции арксинус $E(\arcsin x)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Запишем это в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$
1. Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2\arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi$
2. Вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{4}$:
$-\pi - \frac{\pi}{4} \le 2\arcsin x - \frac{\pi}{4} \le \pi - \frac{\pi}{4}$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$-\frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$
$-\frac{5\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$
Следовательно, область значений исходной функции — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.
Ответ: $E(y) = [-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

2) Чтобы найти область значений функции $y = 5 - 3\text{arcctg } 2x$, необходимо последовательно применить преобразования к области значений функции $f(x) = \text{arcctg } x$.
Область значений функции арккотангенс $E(\text{arcctg } t)$ — это интервал $(0, \pi)$. Аргумент $2x$ может принимать любые действительные значения, поэтому для $\text{arcctg } 2x$ область значений та же.
Запишем это в виде строгого двойного неравенства:
$0 < \text{arcctg } 2x < \pi$
1. Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-3 \cdot 0 > -3\text{arcctg } 2x > -3 \cdot \pi$
$0 > -3\text{arcctg } 2x > -3\pi$
Для удобства запишем неравенство в порядке возрастания:
$-3\pi < -3\text{arcctg } 2x < 0$
2. Прибавим ко всем частям неравенства 5:
$5 - 3\pi < 5 - 3\text{arcctg } 2x < 5 + 0$
$5 - 3\pi < y < 5$
Следовательно, область значений исходной функции — это интервал $(5 - 3\pi, 5)$.
Ответ: $E(y) = (5 - 3\pi; 5)$.

42.53. Решите уравнение:

1) $arcsin x = -\frac{\pi}{4}$;

2) $arcsin x = \frac{5\pi}{6}$;

3) $arccos(x - 1) = \frac{2\pi}{3}$;

4) $arctg(3x + \sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

1) Дано уравнение $\arcsin x = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арксинуса, если $\arcsin a = b$, то это эквивалентно тому, что $\sin b = a$ при условии, что $b$ принадлежит области значений функции арксинус, то есть $b \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

В данном уравнении $b = -\frac{\pi}{4}$. Проверим, выполняется ли условие: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$. Условие выполнено, так как $-\frac{2\pi}{4} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi}{4}$.

Следовательно, мы можем найти $x$:

$x = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$x = -\sin(\frac{\pi}{4})$

Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Дано уравнение $\arcsin x = \frac{5\pi}{6}$.

Область значений функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Необходимо проверить, принадлежит ли значение $\frac{5\pi}{6}$ этому отрезку.

Сравним $\frac{5\pi}{6}$ с верхней границей отрезка $\frac{\pi}{2}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$.

Очевидно, что $\frac{5\pi}{6} > \frac{3\pi}{6}$, то есть $\frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{2}$.

Поскольку значение $\frac{5\pi}{6}$ не входит в область значений функции арксинус, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Дано уравнение $\arccos(x - 1) = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $\arccos a = b$, то это эквивалентно тому, что $\cos b = a$ при условии, что $b$ принадлежит области значений функции арккосинус, то есть $b \in [0; \pi]$.

В данном уравнении $b = \frac{2\pi}{3}$. Проверим, выполняется ли условие: $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$. Условие выполнено.

Следовательно, мы можем найти выражение в скобках:

$x - 1 = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Табличное значение $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$x - 1 = -\frac{1}{2}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 1 - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Дано уравнение $\operatorname{arctg}(3x + \sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арктангенса, если $\operatorname{arctg} a = b$, то это эквивалентно тому, что $\operatorname{tg} b = a$ при условии, что $b$ принадлежит области значений функции арктангенс, то есть $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

В данном уравнении $b = \frac{\pi}{6}$. Проверим, выполняется ли условие: $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$. Условие выполнено.

Следовательно, мы можем найти выражение в скобках:

$3x + \sqrt{3} = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$

Табличное значение $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$).

Подставим это значение в уравнение:

$3x + \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Выразим $3x$:

$3x = \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $\sqrt{3}$:

$3x = \frac{1 - (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 3}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{3} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$x = -\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$.