Номер 42.52, страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.52. Найдите область значений функции:

1) $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{4}$;

2) $y = 5 - 3\text{arcctg } 2x$.

1) Чтобы найти область значений функции $y = 2\arcsin x - \frac{\pi}{4}$, необходимо последовательно применить преобразования к области значений функции $f(x) = \arcsin x$.
Область значений функции арксинус $E(\arcsin x)$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Запишем это в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$
1. Умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:
$2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 2\arcsin x \le 2 \cdot \frac{\pi}{2}$
$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi$
2. Вычтем из всех частей неравенства $\frac{\pi}{4}$:
$-\pi - \frac{\pi}{4} \le 2\arcsin x - \frac{\pi}{4} \le \pi - \frac{\pi}{4}$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$-\frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{4\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$
$-\frac{5\pi}{4} \le y \le \frac{3\pi}{4}$
Следовательно, область значений исходной функции — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$.
Ответ: $E(y) = [-\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]$.

2) Чтобы найти область значений функции $y = 5 - 3\text{arcctg } 2x$, необходимо последовательно применить преобразования к области значений функции $f(x) = \text{arcctg } x$.
Область значений функции арккотангенс $E(\text{arcctg } t)$ — это интервал $(0, \pi)$. Аргумент $2x$ может принимать любые действительные значения, поэтому для $\text{arcctg } 2x$ область значений та же.
Запишем это в виде строгого двойного неравенства:
$0 < \text{arcctg } 2x < \pi$
1. Умножим все части неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-3 \cdot 0 > -3\text{arcctg } 2x > -3 \cdot \pi$
$0 > -3\text{arcctg } 2x > -3\pi$
Для удобства запишем неравенство в порядке возрастания:
$-3\pi < -3\text{arcctg } 2x < 0$
2. Прибавим ко всем частям неравенства 5:
$5 - 3\pi < 5 - 3\text{arcctg } 2x < 5 + 0$
$5 - 3\pi < y < 5$
Следовательно, область значений исходной функции — это интервал $(5 - 3\pi, 5)$.
Ответ: $E(y) = (5 - 3\pi; 5)$.