Номер 42.56, страница 325 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.56. Решите неравенство:

1) $\sin 3x > \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\cos \frac{x}{2} \le \frac{1}{2};$

3) $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) \ge -\frac{1}{2};$

5) $\operatorname{tg} \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{3};$

6) $\operatorname{ctg} \left(\frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}\right) \ge -1.$

1) Решим неравенство $\sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x$. Неравенство примет вид $\sin(t) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя тригонометрическую окружность, найдем углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$. Неравенство $\sin(t) > \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для углов, лежащих между этими значениями.

С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), общее решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 3x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$.

Упростив дробь в правой части, получаем окончательное решение:

$\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3})$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\cos\frac{x}{2} \le \frac{1}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\cos(t) \le \frac{1}{2}$.

На тригонометрической окружности найдем углы, для которых косинус равен $\frac{1}{2}$. Это углы $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Неравенство $\cos(t) \le \frac{1}{2}$ выполняется для углов, лежащих на дуге от $\frac{\pi}{3}$ до $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{2}$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на 2:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \le x \le \frac{10\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \frac{10\pi}{3} + 4\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $\sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\sin(t) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На тригонометрической окружности найдем углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Неравенство $\sin(t) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для всех углов, кроме интервала $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

Следовательно, решение для $t$ можно записать как дугу от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ в следующем периоде. С учетом периодичности ($2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+1)$, что эквивалентно $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$:

$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{16\pi+3\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi-3\pi}{12} + 2\pi n$.

$-\frac{19\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{19\pi}{12} + 2\pi n; \frac{\pi}{12} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $\cos(2x - \frac{\pi}{6}) \ge -\frac{1}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\cos(t) \ge -\frac{1}{2}$.

На тригонометрической окружности найдем углы, для которых косинус равен $-\frac{1}{2}$. Это углы $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Неравенство $\cos(t) \ge -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, лежащих на дуге между $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

С учетом периодичности ($2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x - \frac{\pi}{6}$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$-\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$-\frac{3\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Разделим все части на 2:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим неравенство $\text{tg}(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $\text{tg}(t) \le \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция тангенс возрастает на своем интервале определения. Уравнение $\text{tg}(t) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ имеет решение $t = \frac{\pi}{6}$. Область определения тангенса $t \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Неравенство $\text{tg}(t) \le \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется на интервалах от вертикальной асимптоты до точки, где тангенс равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

С учетом периодичности ($\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{3} \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Умножим все части на 3:

$-\frac{5\pi}{2} + 3\pi n < x \le -\frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{2} + 3\pi n; -\frac{\pi}{2} + 3\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим неравенство $\text{ctg}(\frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}) \ge -1$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}$. Неравенство примет вид $\text{ctg}(t) \ge -1$.

Функция котангенс убывает на своем интервале определения. Уравнение $\text{ctg}(t) = -1$ имеет решение $t = \frac{3\pi}{4}$. Область определения котангенса $t \ne \pi n$.

Неравенство $\text{ctg}(t) \ge -1$ выполняется на интервалах от вертикальной асимптоты до точки, где котангенс равен $-1$.

С учетом периодичности ($\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\pi n < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}$:

$\pi n < \frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5} \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{5}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{5} \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + \pi n$.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{5} \le \frac{15\pi+4\pi}{20} + \pi n \implies \frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{5} \le \frac{19\pi}{20} + \pi n$.

Умножим все части на $\frac{5}{2}$:

$\frac{5}{2}(\frac{\pi}{5} + \pi n) < x \le \frac{5}{2}(\frac{19\pi}{20} + \pi n)$.

$\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi n}{2} < x \le \frac{19\pi}{8} + \frac{5\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi n}{2}; \frac{19\pi}{8} + \frac{5\pi n}{2}]$, $n \in \mathbb{Z}$.