Страница 325 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.54. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 x = 3\sin x + 2$;

2) $\cos 2x + \sin x = 0$;

3) $2\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$;

4) $2\sin 2x = \text{tg } x + \text{ctg } x$;

5) $3\text{tg}^2 x - 8\cos^2 x + 1 = 0$;

6) $2\text{tg } x + 3\text{ctg } x = 5$;

7) $\sin x + 2\cos x = 0$;

8) $3\sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x$;

9) $2.5\sin 2x - \sin^2 x = 2$;

10) $\cos^2 \frac{x}{2} - 1.5\sin x = 1$;

11) $5\sin 2x - 2\sin x = 0$;

12) $\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}$;

13) $\sin x + \sin 5x = 0$;

14) $2\sin^2 x + \sin 3x - \sin x = 1$;

15) $\cos 2x + \cos 6x = 3\cos 4x$;

16) $\cos x - \cos 3x = \sqrt{2} \sin 2x$.

1) $2\cos^2 x = 3\sin x + 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$2(1 - \sin^2 x) = 3\sin x + 2$

$2 - 2\sin^2 x = 3\sin x + 2$

$2\sin^2 x + 3\sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x + 3 = 0 \implies \sin x = -1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.

Следовательно, единственное решение - из первого случая.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 2x + \sin x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$(1 - 2\sin^2 x) + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1-3}{4} = -0.5$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене:

1) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -0.5 \implies x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $2\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$2(2\cos^2 x - 1) - 3\cos x + 2 = 0$

$4\cos^2 x - 2 - 3\cos x + 2 = 0$

$4\cos^2 x - 3\cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4\cos x - 3) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\cos x - 3 = 0 \implies \cos x = \frac{3}{4}$. Тогда $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $2\sin 2x = \tg x + \ctg x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем правую часть: $\tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получим: $\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.

Уравнение принимает вид:

$2\sin 2x = \frac{2}{\sin 2x}$

$\sin^2 2x = 1$

$\sin 2x = \pm 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

5) $3\tg^2 x - 8\cos^2 x + 1 = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$:

$3(\frac{1}{\cos^2 x} - 1) - 8\cos^2 x + 1 = 0$

$\frac{3}{\cos^2 x} - 3 - 8\cos^2 x + 1 = 0$

$\frac{3}{\cos^2 x} - 8\cos^2 x - 2 = 0$

Пусть $t = \cos^2 x$. Учитывая ОДЗ, $0 < t \le 1$.

$\frac{3}{t} - 8t - 2 = 0$

Домножим на $t \neq 0$: $3 - 8t^2 - 2t = 0 \implies 8t^2 + 2t - 3 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.

$t_1 = \frac{-2 + 10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-2 - 10}{16} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$. Этот корень не подходит, так как $t > 0$.

Возвращаемся к замене: $\cos^2 x = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

6) $2\tg x + 3\ctg x = 5$

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Используем $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$.

$2\tg x + \frac{3}{\tg x} = 5$.

Пусть $t = \tg x$. Тогда $2t + \frac{3}{t} = 5$.

Домножим на $t \neq 0$: $2t^2 + 3 = 5t \implies 2t^2 - 5t + 3 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{5-1}{4} = 1$

Возвращаемся к замене:

1) $\tg x = \frac{3}{2} \implies x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7) $\sin x + 2\cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$, иначе $\sin x$ тоже был бы равен нулю, что невозможно. Разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + 2\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tg x + 2 = 0 \implies \tg x = -2$.

$x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8) $3\sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x$

$3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos^2 x$:

$3\tg^2 x + \tg x - 2 = 0$.

Пусть $t = \tg x$. Тогда $3t^2 + t - 2 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1-5}{6} = -1$

Возвращаемся к замене:

1) $\tg x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9) $2.5\sin 2x - \sin^2 x = 2$

Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ и $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$2.5(2\sin x \cos x) - \sin^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$5\sin x \cos x - \sin^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$

$3\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим на $\cos^2 x \neq 0$:

$3\tg^2 x - 5\tg x + 2 = 0$.

Пусть $t = \tg x$. Тогда $3t^2 - 5t + 2 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

$t_1 = \frac{5+1}{6} = 1$

$t_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

1) $\tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

10) $\cos^2 \frac{x}{2} - 1.5\sin x = 1$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}$:

$\frac{1+\cos x}{2} - 1.5\sin x = 1$

$1+\cos x - 3\sin x = 2$

$\cos x - 3\sin x = 1$

Решим методом вспомогательного угла. Разделим на $\sqrt{1^2+(-3)^2} = \sqrt{10}$:

$\frac{1}{\sqrt{10}}\cos x - \frac{3}{\sqrt{10}}\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Пусть $\varphi = \arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})$. Тогда $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $\sin\varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

$\cos\varphi \cos x - \sin\varphi \sin x = \cos\varphi$

$\cos(x+\varphi) = \cos\varphi$

$x+\varphi = \pm \varphi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1) $x+\varphi = \varphi + 2\pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x+\varphi = -\varphi + 2\pi k \implies x = -2\varphi + 2\pi k = -2\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -2\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11) $5\sin 2x - 2\sin x = 0$

Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$5(2\sin x \cos x) - 2\sin x = 0$

$10\sin x \cos x - 2\sin x = 0$

$2\sin x(5\cos x - 1) = 0$

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $5\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{5} \implies x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

12) $\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}$

Преобразуем правую часть по формуле разности квадратов:

$\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})$

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$, то правая часть равна $\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) \cdot 1 = \cos x$.

Уравнение принимает вид: $\sin 2x = \cos x$.

$2\sin x \cos x = \cos x$

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

13) $\sin x + \sin 5x = 0$

Используем формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin\frac{x+5x}{2}\cos\frac{x-5x}{2} = 0$

$2\sin(3x)\cos(-2x) = 0$

$2\sin(3x)\cos(2x) = 0$

1) $\sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

14) $2\sin^2 x + \sin 3x - \sin x = 1$

Перенесем $2\sin^2 x$: $\sin 3x - \sin x = 1 - 2\sin^2 x$.

Используем формулы: разности синусов слева и косинуса двойного угла справа.

$\sin 3x - \sin x = 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 2\sin x \cos 2x$.

$1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$.

Уравнение становится: $2\sin x \cos 2x = \cos 2x$.

$2\sin x \cos 2x - \cos 2x = 0$

$\cos 2x (2\sin x - 1) = 0$

1) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Примечание: решение $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$ можно получить из $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. А $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Если $\sin x = \frac{1}{2}$, то $\cos 2x = 1 - 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \neq 0$. Если $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\cos 2x = 1 - 2(\frac{1}{2}) = 0$. Так что второй набор решений можно записать как $\sin^2 x = 1/2$. Решения не пересекаются.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

15) $\cos 2x + \cos 6x = 3\cos 4x$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{2x-6x}{2} = 3\cos 4x$

$2\cos(4x)\cos(-2x) = 3\cos 4x$

$2\cos(4x)\cos(2x) - 3\cos 4x = 0$

$\cos 4x (2\cos 2x - 3) = 0$

1) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos 2x - 3 = 0 \implies \cos 2x = 1.5$. Решений нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

16) $\cos x - \cos 3x = \sqrt{2} \sin 2x$

Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} = \sqrt{2} \sin 2x$

$-2\sin(2x)\sin(-x) = \sqrt{2} \sin 2x$

$2\sin(2x)\sin x = \sqrt{2} \sin 2x$

$2\sin(2x)\sin x - \sqrt{2} \sin 2x = 0$

$\sin 2x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0$

1) $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

42.55. Найдите корни уравнения $|\sin x| = 2\sin x + \cos x$, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$.

Для решения уравнения $|\sin x| = 2\sin x + \cos x$ на промежутке $[0, 2\pi]$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под знаком модуля.

1. Случай, когда $\sin x \ge 0$

На заданном промежутке $[0, 2\pi]$ это условие выполняется для $x \in [0, \pi]$. В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|\sin x| = \sin x$.

Уравнение принимает вид:

$\sin x = 2\sin x + \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin x - 2\sin x - \cos x = 0$

$-\sin x - \cos x = 0$

$\sin x + \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что $\cos x \ne 0$, так как если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -1$

Общее решение этого уравнения имеет вид $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, удовлетворяющие условию $x \in [0, \pi]$:

При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0, \pi]$.

Другие целочисленные значения $n$ дают корни, не входящие в данный промежуток. Таким образом, из первого случая получаем один корень $x = \frac{3\pi}{4}$.

2. Случай, когда $\sin x < 0$

На заданном промежутке $[0, 2\pi]$ это условие выполняется для $x \in (\pi, 2\pi)$. В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|\sin x| = -\sin x$.

Уравнение принимает вид:

$-\sin x = 2\sin x + \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3\sin x + \cos x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение. Как и в первом случае, $\cos x \ne 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$3\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$3\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{3}$

Общее решение этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, удовлетворяющие условию $x \in (\pi, 2\pi)$:

При $k=1$: $x = \pi - \arctan(\frac{1}{3})$. Этот корень находится во второй четверти, где $\sin x > 0$, что не соответствует условию $\sin x < 0$.

При $k=2$: $x = 2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$. Этот корень находится в четвертой четверти, где $\sin x < 0$, что соответствует условию. Корень $2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$ принадлежит промежутку $(\pi, 2\pi)$.

Другие целочисленные значения $k$ дают корни вне этого промежутка. Таким образом, из второго случая получаем еще один корень $x = 2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$.

Итак, на промежутке $[0, 2\pi]$ уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$, $2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$.

42.56. Решите неравенство:

1) $\sin 3x > \frac{\sqrt{2}}{2};$

2) $\cos \frac{x}{2} \le \frac{1}{2};$

3) $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\cos \left(2x - \frac{\pi}{6}\right) \ge -\frac{1}{2};$

5) $\operatorname{tg} \left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}\right) \le \frac{\sqrt{3}}{3};$

6) $\operatorname{ctg} \left(\frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}\right) \ge -1.$

1) Решим неравенство $\sin(3x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x$. Неравенство примет вид $\sin(t) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Используя тригонометрическую окружность, найдем углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это углы $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$. Неравенство $\sin(t) > \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для углов, лежащих между этими значениями.

С учетом периодичности функции синус ($2\pi$), общее решение для $t$ записывается в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 3x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi n < 3x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, разделим все части неравенства на 3:

$\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$.

Упростив дробь в правой части, получаем окончательное решение:

$\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3})$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $\cos\frac{x}{2} \le \frac{1}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{2}$. Неравенство примет вид $\cos(t) \le \frac{1}{2}$.

На тригонометрической окружности найдем углы, для которых косинус равен $\frac{1}{2}$. Это углы $\frac{\pi}{3}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Неравенство $\cos(t) \le \frac{1}{2}$ выполняется для углов, лежащих на дуге от $\frac{\pi}{3}$ до $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

С учетом периодичности функции косинус ($2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{2}$:

$\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le \frac{x}{2} \le \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, умножим все части неравенства на 2:

$\frac{2\pi}{3} + 4\pi n \le x \le \frac{10\pi}{3} + 4\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{2\pi}{3} + 4\pi n; \frac{10\pi}{3} + 4\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $\sin(x + \frac{\pi}{4}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = x + \frac{\pi}{4}$. Неравенство примет вид $\sin(t) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

На тригонометрической окружности найдем углы, для которых синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это углы $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Неравенство $\sin(t) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется для всех углов, кроме интервала $(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3})$.

Следовательно, решение для $t$ можно записать как дугу от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{\pi}{3}$ в следующем периоде. С учетом периодичности ($2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+1)$, что эквивалентно $-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = x + \frac{\pi}{4}$:

$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi n \le x + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Чтобы найти $x$, вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{4\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$-\frac{16\pi+3\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{4\pi-3\pi}{12} + 2\pi n$.

$-\frac{19\pi}{12} + 2\pi n \le x \le \frac{\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{19\pi}{12} + 2\pi n; \frac{\pi}{12} + 2\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $\cos(2x - \frac{\pi}{6}) \ge -\frac{1}{2}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 2x - \frac{\pi}{6}$. Неравенство примет вид $\cos(t) \ge -\frac{1}{2}$.

На тригонометрической окружности найдем углы, для которых косинус равен $-\frac{1}{2}$. Это углы $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$. Неравенство $\cos(t) \ge -\frac{1}{2}$ выполняется для углов, лежащих на дуге между $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$.

С учетом периодичности ($2\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le t \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 2x - \frac{\pi}{6}$:

$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le 2x - \frac{\pi}{6} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям неравенства:

$-\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$-\frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$-\frac{3\pi}{6} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \implies -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le 2x \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Разделим все части на 2:

$-\frac{\pi}{4} + \pi n \le x \le \frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{5\pi}{12} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим неравенство $\text{tg}(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}) \le \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$. Неравенство примет вид $\text{tg}(t) \le \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Функция тангенс возрастает на своем интервале определения. Уравнение $\text{tg}(t) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ имеет решение $t = \frac{\pi}{6}$. Область определения тангенса $t \ne \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Неравенство $\text{tg}(t) \le \frac{\sqrt{3}}{3}$ выполняется на интервалах от вертикальной асимптоты до точки, где тангенс равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

С учетом периодичности ($\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \le \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3}$:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < \frac{x}{3} + \frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{6} + \pi n$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n$.

$-\frac{5\pi}{6} + \pi n < \frac{x}{3} \le -\frac{\pi}{6} + \pi n$.

Умножим все части на 3:

$-\frac{5\pi}{2} + 3\pi n < x \le -\frac{\pi}{2} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{2} + 3\pi n; -\frac{\pi}{2} + 3\pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим неравенство $\text{ctg}(\frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}) \ge -1$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}$. Неравенство примет вид $\text{ctg}(t) \ge -1$.

Функция котангенс убывает на своем интервале определения. Уравнение $\text{ctg}(t) = -1$ имеет решение $t = \frac{3\pi}{4}$. Область определения котангенса $t \ne \pi n$.

Неравенство $\text{ctg}(t) \ge -1$ выполняется на интервалах от вертикальной асимптоты до точки, где котангенс равен $-1$.

С учетом периодичности ($\pi$), общее решение для $t$ имеет вид:

$\pi n < t \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = \frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5}$:

$\pi n < \frac{2x}{5} - \frac{\pi}{5} \le \frac{3\pi}{4} + \pi n$.

Прибавим $\frac{\pi}{5}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{5} \le \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{5} + \pi n$.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{5} \le \frac{15\pi+4\pi}{20} + \pi n \implies \frac{\pi}{5} + \pi n < \frac{2x}{5} \le \frac{19\pi}{20} + \pi n$.

Умножим все части на $\frac{5}{2}$:

$\frac{5}{2}(\frac{\pi}{5} + \pi n) < x \le \frac{5}{2}(\frac{19\pi}{20} + \pi n)$.

$\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi n}{2} < x \le \frac{19\pi}{8} + \frac{5\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + \frac{5\pi n}{2}; \frac{19\pi}{8} + \frac{5\pi n}{2}]$, $n \in \mathbb{Z}$.