Номер 42.54, страница 325 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.54. Решите уравнение:

1) $2\cos^2 x = 3\sin x + 2$;

2) $\cos 2x + \sin x = 0$;

3) $2\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$;

4) $2\sin 2x = \text{tg } x + \text{ctg } x$;

5) $3\text{tg}^2 x - 8\cos^2 x + 1 = 0$;

6) $2\text{tg } x + 3\text{ctg } x = 5$;

7) $\sin x + 2\cos x = 0$;

8) $3\sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x$;

9) $2.5\sin 2x - \sin^2 x = 2$;

10) $\cos^2 \frac{x}{2} - 1.5\sin x = 1$;

11) $5\sin 2x - 2\sin x = 0$;

12) $\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}$;

13) $\sin x + \sin 5x = 0$;

14) $2\sin^2 x + \sin 3x - \sin x = 1$;

15) $\cos 2x + \cos 6x = 3\cos 4x$;

16) $\cos x - \cos 3x = \sqrt{2} \sin 2x$.

1) $2\cos^2 x = 3\sin x + 2$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции:

$2(1 - \sin^2 x) = 3\sin x + 2$

$2 - 2\sin^2 x = 3\sin x + 2$

$2\sin^2 x + 3\sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x + 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x + 3 = 0 \implies \sin x = -1.5$. Это уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.

Следовательно, единственное решение - из первого случая.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 2x + \sin x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$(1 - 2\sin^2 x) + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$

$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1-3}{4} = -0.5$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Возвращаемся к замене:

1) $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = -0.5 \implies x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $2\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$2(2\cos^2 x - 1) - 3\cos x + 2 = 0$

$4\cos^2 x - 2 - 3\cos x + 2 = 0$

$4\cos^2 x - 3\cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4\cos x - 3) = 0$

Получаем два случая:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\cos x - 3 = 0 \implies \cos x = \frac{3}{4}$. Тогда $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $2\sin 2x = \tg x + \ctg x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем правую часть: $\tg x + \ctg x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получим: $\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.

Уравнение принимает вид:

$2\sin 2x = \frac{2}{\sin 2x}$

$\sin^2 2x = 1$

$\sin 2x = \pm 1$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

5) $3\tg^2 x - 8\cos^2 x + 1 = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$:

$3(\frac{1}{\cos^2 x} - 1) - 8\cos^2 x + 1 = 0$

$\frac{3}{\cos^2 x} - 3 - 8\cos^2 x + 1 = 0$

$\frac{3}{\cos^2 x} - 8\cos^2 x - 2 = 0$

Пусть $t = \cos^2 x$. Учитывая ОДЗ, $0 < t \le 1$.

$\frac{3}{t} - 8t - 2 = 0$

Домножим на $t \neq 0$: $3 - 8t^2 - 2t = 0 \implies 8t^2 + 2t - 3 = 0$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.

$t_1 = \frac{-2 + 10}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-2 - 10}{16} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$. Этот корень не подходит, так как $t > 0$.

Возвращаемся к замене: $\cos^2 x = \frac{1}{2} \implies \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

6) $2\tg x + 3\ctg x = 5$

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Используем $\ctg x = \frac{1}{\tg x}$.

$2\tg x + \frac{3}{\tg x} = 5$.

Пусть $t = \tg x$. Тогда $2t + \frac{3}{t} = 5$.

Домножим на $t \neq 0$: $2t^2 + 3 = 5t \implies 2t^2 - 5t + 3 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

$t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{5-1}{4} = 1$

Возвращаемся к замене:

1) $\tg x = \frac{3}{2} \implies x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{3}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

7) $\sin x + 2\cos x = 0$

Это однородное уравнение первой степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$, иначе $\sin x$ тоже был бы равен нулю, что невозможно. Разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + 2\frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tg x + 2 = 0 \implies \tg x = -2$.

$x = \arctan(-2) + \pi k = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(2) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

8) $3\sin^2 x + \sin x \cos x = 2\cos^2 x$

$3\sin^2 x + \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Заметим, что $\cos x \neq 0$. Разделим обе части на $\cos^2 x$:

$3\tg^2 x + \tg x - 2 = 0$.

Пусть $t = \tg x$. Тогда $3t^2 + t - 2 = 0$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1+5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1-5}{6} = -1$

Возвращаемся к замене:

1) $\tg x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

9) $2.5\sin 2x - \sin^2 x = 2$

Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ и $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$2.5(2\sin x \cos x) - \sin^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$

$5\sin x \cos x - \sin^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$

$3\sin^2 x - 5\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$

Это однородное уравнение. Разделим на $\cos^2 x \neq 0$:

$3\tg^2 x - 5\tg x + 2 = 0$.

Пусть $t = \tg x$. Тогда $3t^2 - 5t + 2 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

$t_1 = \frac{5+1}{6} = 1$

$t_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

1) $\tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x = \frac{2}{3} \implies x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

10) $\cos^2 \frac{x}{2} - 1.5\sin x = 1$

Используем формулу понижения степени $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}$:

$\frac{1+\cos x}{2} - 1.5\sin x = 1$

$1+\cos x - 3\sin x = 2$

$\cos x - 3\sin x = 1$

Решим методом вспомогательного угла. Разделим на $\sqrt{1^2+(-3)^2} = \sqrt{10}$:

$\frac{1}{\sqrt{10}}\cos x - \frac{3}{\sqrt{10}}\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Пусть $\varphi = \arccos(\frac{1}{\sqrt{10}})$. Тогда $\cos\varphi = \frac{1}{\sqrt{10}}$ и $\sin\varphi = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

$\cos\varphi \cos x - \sin\varphi \sin x = \cos\varphi$

$\cos(x+\varphi) = \cos\varphi$

$x+\varphi = \pm \varphi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1) $x+\varphi = \varphi + 2\pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $x+\varphi = -\varphi + 2\pi k \implies x = -2\varphi + 2\pi k = -2\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -2\arccos(\frac{1}{\sqrt{10}}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

11) $5\sin 2x - 2\sin x = 0$

Используем формулу $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$5(2\sin x \cos x) - 2\sin x = 0$

$10\sin x \cos x - 2\sin x = 0$

$2\sin x(5\cos x - 1) = 0$

1) $\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $5\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{5} \implies x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \arccos(\frac{1}{5}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

12) $\sin 2x = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}$

Преобразуем правую часть по формуле разности квадратов:

$\cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2} = (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2})$

Так как $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ и $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$, то правая часть равна $\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) \cdot 1 = \cos x$.

Уравнение принимает вид: $\sin 2x = \cos x$.

$2\sin x \cos x = \cos x$

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

13) $\sin x + \sin 5x = 0$

Используем формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\sin\frac{x+5x}{2}\cos\frac{x-5x}{2} = 0$

$2\sin(3x)\cos(-2x) = 0$

$2\sin(3x)\cos(2x) = 0$

1) $\sin(3x) = 0 \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(2x) = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

14) $2\sin^2 x + \sin 3x - \sin x = 1$

Перенесем $2\sin^2 x$: $\sin 3x - \sin x = 1 - 2\sin^2 x$.

Используем формулы: разности синусов слева и косинуса двойного угла справа.

$\sin 3x - \sin x = 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} = 2\sin x \cos 2x$.

$1 - 2\sin^2 x = \cos 2x$.

Уравнение становится: $2\sin x \cos 2x = \cos 2x$.

$2\sin x \cos 2x - \cos 2x = 0$

$\cos 2x (2\sin x - 1) = 0$

1) $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Примечание: решение $x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}$ можно получить из $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. А $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Если $\sin x = \frac{1}{2}$, то $\cos 2x = 1 - 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \neq 0$. Если $\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\cos 2x = 1 - 2(\frac{1}{2}) = 0$. Так что второй набор решений можно записать как $\sin^2 x = 1/2$. Решения не пересекаются.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

15) $\cos 2x + \cos 6x = 3\cos 4x$

Используем формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$2\cos\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{2x-6x}{2} = 3\cos 4x$

$2\cos(4x)\cos(-2x) = 3\cos 4x$

$2\cos(4x)\cos(2x) - 3\cos 4x = 0$

$\cos 4x (2\cos 2x - 3) = 0$

1) $\cos 4x = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos 2x - 3 = 0 \implies \cos 2x = 1.5$. Решений нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.

16) $\cos x - \cos 3x = \sqrt{2} \sin 2x$

Используем формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} = \sqrt{2} \sin 2x$

$-2\sin(2x)\sin(-x) = \sqrt{2} \sin 2x$

$2\sin(2x)\sin x = \sqrt{2} \sin 2x$

$2\sin(2x)\sin x - \sqrt{2} \sin 2x = 0$

$\sin 2x (2\sin x - \sqrt{2}) = 0$

1) $\sin 2x = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.