Номер 42.48, страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.48. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

$\cos \left(2x - \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Дано тригонометрическое уравнение $\cos(2x - \frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Для его решения сначала найдем общее решение для аргумента косинуса. Общее решение уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число).

В нашем случае аргумент $t = 2x - \frac{2\pi}{3}$, а значение $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем значение арккосинуса: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставив это значение в общую формулу, получаем: $2x - \frac{2\pi}{3} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. Это уравнение необходимо решить относительно $x$. Разобьем его на два случая.

В первом случае рассмотрим знак «плюс»:

$2x - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Выразим $2x$:
$2x = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$2x = \frac{9\pi + 8\pi}{12} + 2\pi n = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n$
Разделив на 2, получим первую серию корней:
$x = \frac{17\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Во втором случае рассмотрим знак «минус»:

$2x - \frac{2\pi}{3} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Выразим $2x$:
$2x = -\frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$2x = \frac{-9\pi + 8\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n$
Разделив на 2, получим вторую серию корней:
$x = -\frac{\pi}{24} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь, согласно условию задачи, нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого проанализируем обе серии решений.

Для первой серии $x = \frac{17\pi}{24} + \pi n$, найдем такое целое $n$, при котором корень будет отрицательным и максимально близким к нулю. Решим неравенство $\frac{17\pi}{24} + \pi n < 0$, что равносильно $n < -\frac{17}{24}$. Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n = -1$. Подставив его, находим корень: $x = \frac{17\pi}{24} - \pi = \frac{17\pi - 24\pi}{24} = -\frac{7\pi}{24}$.

Для второй серии $x = -\frac{\pi}{24} + \pi n$, решим неравенство $-\frac{\pi}{24} + \pi n < 0$, что равносильно $n < \frac{1}{24}$. Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, это $n = 0$. Подставив его, находим корень: $x = -\frac{\pi}{24} + 0 = -\frac{\pi}{24}$.

Мы получили два кандидата на наибольший отрицательный корень: $-\frac{7\pi}{24}$ и $-\frac{\pi}{24}$. Сравним их. Наибольшим из двух отрицательных чисел является то, которое ближе к нулю (имеет меньший модуль). Так как $-\frac{\pi}{24} > -\frac{7\pi}{24}$, то наибольший отрицательный корень уравнения равен $-\frac{\pi}{24}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{24}$.