Номер 42.45, страница 323 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.45. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$;

2) $\frac{1 - \cos 6\alpha - \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{2 \sin \alpha \cos 2\alpha}$;

3) $\sin 6\alpha \operatorname{tg} 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha$;

4) $\cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha - \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

5) $\frac{2 \cos^2 2\alpha + \sin 2\alpha - 1}{\sin 2\alpha - \sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha}$;

6) $\frac{\sin \left(\frac{5\pi}{2} - 2\alpha\right) + 2\sin^2 \left(2\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) - 1}{2 \cos 3\alpha}$;

7) $\left(\frac{\cos \alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos 2\alpha}\right) \cdot \frac{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha}{\sin 5\alpha - \sin \alpha}$;

8) $\frac{\sin^2 \left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\operatorname{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right) + \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right)}$.

1) Для упрощения выражения воспользуемся формулами двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + (2\cos^2\alpha - 1)} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$.

2) Сгруппируем слагаемые в числителе: $(1 - \cos 2\alpha) - (\cos 6\alpha - \cos 4\alpha)$.

Применим формулу понижения степени $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$ и формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

$\cos 6\alpha - \cos 4\alpha = -2\sin\frac{6\alpha+4\alpha}{2}\sin\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = -2\sin 5\alpha\sin\alpha$.

Числитель примет вид: $2\sin^2\alpha - (-2\sin 5\alpha\sin\alpha) = 2\sin^2\alpha + 2\sin 5\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \sin 5\alpha)$.

Подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь:

$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \sin 5\alpha)}{2\sin\alpha\cos 2\alpha} = \frac{\sin\alpha + \sin 5\alpha}{\cos 2\alpha}$

Теперь применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}}{\cos 2\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha\cos(-2\alpha)}{\cos 2\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha}$

Сократим дробь на $\cos 2\alpha$:

$2\sin 3\alpha$.

Ответ: $2\sin 3\alpha$.

3) Представим $\tan 3\alpha$ как $\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}$ и используем формулу синуса двойного угла для $\sin 6\alpha = 2\sin 3\alpha\cos 3\alpha$.

$\sin 6\alpha \tan 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha = (2\sin 3\alpha\cos 3\alpha) \cdot \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} + 2\cos^2 3\alpha$

Сократим $\cos 3\alpha$ в первом слагаемом:

$2\sin 3\alpha \cdot \sin 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha = 2\sin^2 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha$

Вынесем 2 за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2(\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$.

4) Сгруппируем слагаемые: $(\cos^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha) - (\sin^2\alpha + \cos 2\alpha)$.

В первой группе вынесем за скобки $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha \cdot 1 = \cos^2\alpha$.

Во второй группе используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$: $\sin^2\alpha + \cos 2\alpha = \sin^2\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha$.

Теперь вычтем результат второй группы из результата первой:

$\cos^2\alpha - \cos^2\alpha = 0$.

Ответ: $0$.

5) Упростим числитель и знаменатель дроби.

В числителе: $2\cos^2 2\alpha + \sin 2\alpha - 1 = (2\cos^2 2\alpha - 1) + \sin 2\alpha$. По формуле косинуса двойного угла $2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$, получаем $2\cos^2 2\alpha - 1 = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$. Таким образом, числитель равен $\cos 4\alpha + \sin 2\alpha$.

В знаменателе: $\sin 2\alpha - \sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = \sin 2\alpha + (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)$. По формуле косинуса двойного угла $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$, получаем $\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$. Таким образом, знаменатель равен $\sin 2\alpha + \cos 4\alpha$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{\cos 4\alpha + \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha + \cos 4\alpha} = 1$

Ответ: $1$.

6) Упростим слагаемые в числителе, используя формулы приведения.

Первое слагаемое: $\sin(\frac{5\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos 2\alpha$.

Выражение $2\sin^2(2\alpha - \frac{3\pi}{2}) - 1$. Упростим $\sin(2\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -(-\cos 2\alpha) = \cos 2\alpha$.

Тогда выражение становится $2\cos^2(2\alpha) - 1$, что по формуле косинуса двойного угла равно $\cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$.

Числитель дроби: $\cos 2\alpha + \cos 4\alpha$.

Применим к числителю формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2\cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = 2\cos 3\alpha\cos(-\alpha) = 2\cos 3\alpha\cos\alpha$.

Подставим все в исходное выражение: $\frac{2\cos 3\alpha\cos\alpha}{2\cos 3\alpha}$.

Сократив дробь, получаем $\cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

7) Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $\frac{\cos\alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos\alpha\cos 2\alpha - \sin\alpha\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha}$.

Числитель равен $\cos(\alpha+2\alpha) = \cos 3\alpha$. Знаменатель равен $\frac{1}{2}\sin(4\alpha)$. Первый множитель: $\frac{\cos 3\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 3\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Второй множитель: $\frac{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha}{\sin 5\alpha - \sin\alpha}$.

Числитель: $\cos 2\alpha - \cos 6\alpha = -2\sin(4\alpha)\sin(-2\alpha) = 2\sin 4\alpha\sin 2\alpha$.

Знаменатель: $\sin 5\alpha - \sin\alpha = 2\cos 3\alpha\sin 2\alpha$.

Второй множитель равен: $\frac{2\sin 4\alpha\sin 2\alpha}{2\cos 3\alpha\sin 2\alpha} = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha}$.

Перемножим упрощенные множители: $\frac{2\cos 3\alpha}{\sin 4\alpha} \cdot \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha} = 2$.

Ответ: $2$.

8) Упростим числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = (\sin(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)))^2 = (-\sin(\frac{\pi}{2} - 4\alpha))^2 = (-\cos 4\alpha)^2 = \cos^2 4\alpha$.

Знаменатель: $\cot(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) + \tan(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)$. По формулам приведения это равно $-\tan 2\alpha + \cot 2\alpha$.

$\cot 2\alpha - \tan 2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Теперь составим и упростим исходную дробь:

$\frac{\cos^2 4\alpha}{\frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}} = \frac{\cos^2 4\alpha \cdot \sin 4\alpha}{2\cos 4\alpha} = \frac{\sin 4\alpha\cos 4\alpha}{2}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 8\alpha = 2\sin 4\alpha\cos 4\alpha$, получаем:

$\frac{\frac{1}{2}\sin 8\alpha}{2} = \frac{\sin 8\alpha}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}\sin 8\alpha$.