Номер 42.39, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.39. Упростите выражение:

1) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^4 \alpha;$

3) $(\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha;$

4) $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha}.$

1) Исходное выражение: $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \operatorname{tg} \alpha$.
Заменим $\operatorname{tg} \alpha$ на отношение $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):
$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin^3 \alpha + \cos^2 \alpha \sin \alpha$.
Вынесем общий множитель $\sin \alpha$ за скобки:
$\sin \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\sin \alpha \cdot 1 = \sin \alpha$.

Ответ: $\sin \alpha$.

2) Исходное выражение: $\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^4 \alpha$.
Заменим $\operatorname{ctg}^2 \alpha$ на $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$):
$\cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$.
Вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки:
$\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \sin^2 \alpha$ на $\cos^2 \alpha$:
$\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \cos^4 \alpha$.

Ответ: $\cos^4 \alpha$.

3) Исходное выражение: $(\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha$.
Внутри скобок вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$:
$(\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)) \operatorname{ctg} \alpha$.
Используем тождество $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ (при $\cos \alpha \neq 0$):
$(\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}) \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha$.
Заменим $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ на $\operatorname{tg}^2 \alpha$ и используем тождество $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$):
$\operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$.

Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$.

4) Исходное выражение: $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha}$.
Сначала упростим числитель. Раскроем квадрат суммы: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получим: $1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Тогда числитель равен: $1 - (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Теперь упростим знаменатель. Заменим $\operatorname{ctg} \alpha$ на $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$):
$\sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}$.
Используя следствие из основного тождества $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, получим: $\frac{\cos \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = (-2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \left(-\frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}\right) = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha}$.
Сократим дробь на $\cos \alpha$ (при $\cos \alpha \neq 0$):
$\frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 2 \operatorname{tg}^2 \alpha$.

Ответ: $2 \operatorname{tg}^2 \alpha$.