Номер 42.34, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.34. Сравните с нулём значение выражения:

1) $ \sin 168^\circ \cos 126^\circ $

2) $ \operatorname{tg} 206^\circ \cos (-223^\circ) $

3) $ \cos 4 \operatorname{tg} 3 $

1) Чтобы сравнить значение выражения $\sin 168^\circ \cos 126^\circ$ с нулём, необходимо определить знаки каждого из множителей.

Угол $168^\circ$ находится во второй тригонометрической четверти ($90^\circ < 168^\circ < 180^\circ$). Значение синуса во второй четверти положительно, следовательно, $\sin 168^\circ > 0$.

Угол $126^\circ$ также находится во второй четверти ($90^\circ < 126^\circ < 180^\circ$). Значение косинуса во второй четверти отрицательно, следовательно, $\cos 126^\circ < 0$.

Произведение положительного числа ($\sin 168^\circ$) и отрицательного числа ($\cos 126^\circ$) является отрицательным числом.

Таким образом, $\sin 168^\circ \cos 126^\circ < 0$.

Ответ: $\sin 168^\circ \cos 126^\circ < 0$.

2) Сравним с нулём значение выражения $\tg 206^\circ \cos(-223^\circ)$, определив знаки множителей.

Угол $206^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 206^\circ < 270^\circ$). Тангенс в третьей четверти положителен, поэтому $\tg 206^\circ > 0$.

Функция косинуса является чётной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-223^\circ) = \cos(223^\circ)$. Угол $223^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 223^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен. Таким образом, $\cos(-223^\circ) < 0$.

Произведение положительного числа ($\tg 206^\circ$) и отрицательного числа ($\cos(-223^\circ)$) является отрицательным.

Следовательно, $\tg 206^\circ \cos(-223^\circ) < 0$.

Ответ: $\tg 206^\circ \cos(-223^\circ) < 0$.

3) Сравним с нулём значение выражения $\cos 4 \tg 3$. Поскольку у аргументов тригонометрических функций не указан знак градуса, они выражены в радианах. Для определения знаков воспользуемся приближённым значением числа $\pi \approx 3,14$.

Определим четверть для угла 4 радиана. Границы четвертей в радианах: $\pi/2 \approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $3\pi/2 \approx 4,71$. Поскольку выполняется неравенство $\pi < 4 < 3\pi/2$ ($3,14 < 4 < 4,71$), угол 4 радиана находится в третьей четверти. Косинус в этой четверти отрицателен, значит $\cos 4 < 0$.

Определим четверть для угла 3 радиана. Поскольку выполняется неравенство $\pi/2 < 3 < \pi$ ($1,57 < 3 < 3,14$), угол 3 радиана находится во второй четверти. Тангенс в этой четверти отрицателен, значит $\tg 3 < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел ($\cos 4$ и $\tg 3$) является положительным числом.

Таким образом, $\cos 4 \tg 3 > 0$.

Ответ: $\cos 4 \tg 3 > 0$.