Номер 42.29, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.29. Упростите выражение:

1) $ \left( \frac{81a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{16c^{-\frac{4}{3}}} \right)^{-\frac{3}{4}} $;

2) $ \left( \frac{125a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{64c^{-\frac{1}{2}}} \right)^{-\frac{4}{3}} $;

3) $ \left( \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} \right)^{-6} $;

4) $ \left( \frac{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}} \right)^{-4} $.

1) Упростим выражение $ \left(\frac{81a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{16c^{-\frac{4}{3}}}\right)^{-\frac{3}{4}} $.

Сначала воспользуемся свойством степени $ (x/y)^{-n} = (y/x)^n $, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, перевернув дробь:

$ \left(\frac{16c^{-\frac{4}{3}}}{81a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}\right)^{\frac{3}{4}} $

Далее, переместим множитель $ c^{-\frac{4}{3}} $ из числителя в знаменатель, изменив знак его показателя на противоположный (свойство $ x^{-n} = 1/x^n $):

$ \left(\frac{16}{81a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{4}{3}}}\right)^{\frac{3}{4}} $

Теперь возведем каждый множитель в дроби в степень $ \frac{3}{4} $, используя свойство $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:

$ \frac{16^{\frac{3}{4}}}{81^{\frac{3}{4}} \cdot (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} \cdot (b^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}} \cdot (c^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}}} $

Вычислим значения для каждого множителя:

• $ 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 $
• $ 81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 $
• $ (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = a^{\frac{6}{12}} = a^{\frac{1}{2}} $
• $ (b^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}} = b^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}} = b^{\frac{3}{12}} = b^{\frac{1}{4}} $
• $ (c^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}} = c^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = c^1 = c $

Подставим вычисленные значения обратно в выражение:

$ \frac{8}{27a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}c} $

Ответ: $ \frac{8}{27a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}c} $

2) Упростим выражение $ \left(\frac{125a^{-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{64c^{-\frac{1}{2}}}\right)^{-\frac{4}{3}} $.

Избавимся от отрицательной внешней степени, перевернув дробь:

$ \left(\frac{64c^{-\frac{1}{2}}}{125a^{-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}} $

Переместим множители с отрицательными степенями: $ c^{-\frac{1}{2}} $ в знаменатель, а $ a^{-\frac{3}{2}} $ и $ b^{-\frac{3}{2}} $ в числитель:

$ \left(\frac{64a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}}}{125c^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}} $

Возведем каждый множитель в степень $ \frac{4}{3} $:

$ \frac{64^{\frac{4}{3}} \cdot (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} \cdot (b^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}}{125^{\frac{4}{3}} \cdot (c^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{3}}} $

Вычислим значения:

• $ 64^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{64})^4 = 4^4 = 256 $
• $ 125^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{125})^4 = 5^4 = 625 $
• $ (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = a^2 $
• $ (b^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} = b^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = b^2 $
• $ (c^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{3}} = c^{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}} $

Соберем все вместе:

$ \frac{256a^2b^2}{625c^{\frac{2}{3}}} $

Ответ: $ \frac{256a^2b^2}{625c^{\frac{2}{3}}} $

3) Упростим выражение $ \left(\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}\right)^{-6} $.

Сначала упростим выражение в скобках. В числителе вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наименьшие степени $ a $ и $ b $. Это $ a^{\frac{1}{3}} $ и $ b^{\frac{1}{3}} $. Вынесем $ a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $ за скобки:

$ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} (a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}}b^0 + a^0b^{\frac{1}{6}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) $

Подставим это обратно в дробь:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} $

Сократим дробь на $ (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) $ (при условии, что $ a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}} \neq 0 $). Получим:

$ a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $

Теперь возведем это выражение в степень -6:

$ (a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}})^{-6} = (a^{\frac{1}{3}})^{-6} \cdot (b^{\frac{1}{3}})^{-6} = a^{-\frac{6}{3}}b^{-\frac{6}{3}} = a^{-2}b^{-2} $

Запишем результат с положительными показателями:

$ \frac{1}{a^2b^2} $

Ответ: $ \frac{1}{a^2b^2} $

4) Упростим выражение $ \left(\frac{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}}\right)^{-4} $.

Упростим дробь в скобках. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $ a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}} $ вынесем за скобки общий множитель $ b^{\frac{1}{4}} $: $ b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) $.

В знаменателе $ a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} $ вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{4}} $: $ a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) $.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})} $

Сократим дробь на $ (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) $ (при условии, что $ a^{\frac{1}{4}} \neq b^{\frac{1}{4}} $). Получим:

$ \frac{b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} $

Теперь возведем это выражение в степень -4:

$ \left(\frac{b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}}\right)^{-4} = \left(\frac{a^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}}}\right)^{4} = \frac{(a^{\frac{1}{4}})^4}{(b^{\frac{1}{4}})^4} = \frac{a}{b} $

Ответ: $ \frac{a}{b} $