Номер 42.25, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.25. Сравните числа:

1) $\sqrt[6]{80}$ и $\sqrt[3]{9}$;

2) $\sqrt[3]{6}$ и $\sqrt{5}$;

3) $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt{3}$;

4) $\sqrt[4]{27}$ и $\sqrt[3]{9}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[6]{80}$ и $\sqrt[3]{9}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное для показателей 6 и 3 равно 6.

Первое число уже имеет показатель 6: $\sqrt[6]{80}$.

Преобразуем второе число, приведя его к корню 6-й степени:

$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3 \cdot 2]{9^2} = \sqrt[6]{81}$.

Теперь, когда показатели корней одинаковы, мы можем сравнить подкоренные выражения: $80$ и $81$.

Поскольку $80 < 81$, то и $\sqrt[6]{80} < \sqrt[6]{81}$.

Следовательно, $\sqrt[6]{80} < \sqrt[3]{9}$.

Ответ: $\sqrt[6]{80} < \sqrt[3]{9}$.

2) Сравним числа $\sqrt[3]{6}$ и $\sqrt{5}$. Показатели корней — 3 и 2. Наименьшее общее кратное для 3 и 2 равно 6.

Приведем оба числа к корню 6-й степени:

$\sqrt[3]{6} = \sqrt[3 \cdot 2]{6^2} = \sqrt[6]{36}$.

$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[6]{125}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $36$ и $125$.

Так как $36 < 125$, то $\sqrt[6]{36} < \sqrt[6]{125}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{6} < \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{6} < \sqrt{5}$.

3) Сравним числа $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt{3}$. Показатели корней — 4 и 2. Наименьший общий показатель — 4.

Первое число $\sqrt[4]{15}$ уже имеет нужный показатель.

Преобразуем второе число:

$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[2 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[4]{9}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $15$ и $9$.

Поскольку $15 > 9$, то $\sqrt[4]{15} > \sqrt[4]{9}$.

Следовательно, $\sqrt[4]{15} > \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[4]{15} > \sqrt{3}$.

4) Сравним числа $\sqrt[4]{27}$ и $\sqrt[3]{9}$. Показатели корней — 4 и 3. Наименьшее общее кратное для 4 и 3 равно 12.

Приведем оба числа к корню 12-й степени. Для удобства вычислений представим подкоренные выражения в виде степеней числа 3: $27=3^3$ и $9=3^2$.

$\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(3^3)^3} = \sqrt[12]{3^{3 \cdot 3}} = \sqrt[12]{3^9}$.

$\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3 \cdot 4]{(3^2)^4} = \sqrt[12]{3^{2 \cdot 4}} = \sqrt[12]{3^8}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $3^9$ и $3^8$.

Так как основание степени $3 > 1$ и показатель $9 > 8$, то $3^9 > 3^8$.

Следовательно, $\sqrt[12]{3^9} > \sqrt[12]{3^8}$, а значит $\sqrt[4]{27} > \sqrt[3]{9}$.

Ответ: $\sqrt[4]{27} > \sqrt[3]{9}$.