Номер 42.23, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.23. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{5}{\sqrt[3]{4}}$;

2) $\frac{12}{\sqrt[4]{27}}$;

3) $\frac{6}{\sqrt[5]{8}}$;

4) $\frac{14}{\sqrt[3]{-49}}$;

5) $\frac{9}{4 - \sqrt{7}}$;

6) $\frac{1}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}$;

7) $\frac{6}{2 - \sqrt[3]{5}}$;

8) $\frac{8}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1}$.

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{5}{\sqrt[3]{4}} $, представим знаменатель в виде $ \sqrt[3]{2^2} $. Для получения в знаменателе целого числа, необходимо, чтобы подкоренное выражение стало кубом. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt[3]{2} $:

$ \frac{5}{\sqrt[3]{4}} = \frac{5}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{5 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^2} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{5\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{5\sqrt[3]{2}}{2} $

Ответ: $ \frac{5\sqrt[3]{2}}{2} $

2) В дроби $ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} $ знаменатель равен $ \sqrt[4]{3^3} $. Чтобы избавиться от корня, нужно домножить подкоренное выражение до четвертой степени. Умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[4]{3} $:

$ \frac{12}{\sqrt[4]{27}} = \frac{12}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{12 \cdot \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^3} \cdot \sqrt[4]{3}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{12\sqrt[4]{3}}{3} = 4\sqrt[4]{3} $

Ответ: $ 4\sqrt[4]{3} $

3) В дроби $ \frac{6}{\sqrt[5]{8}} $ представим знаменатель как $ \sqrt[5]{2^3} $. Чтобы подкоренное выражение стало пятой степенью, домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[5]{2^2} = \sqrt[5]{4} $:

$ \frac{6}{\sqrt[5]{8}} = \frac{6}{\sqrt[5]{2^3}} = \frac{6 \cdot \sqrt[5]{2^2}}{\sqrt[5]{2^3} \cdot \sqrt[5]{2^2}} = \frac{6\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{2^5}} = \frac{6\sqrt[5]{4}}{2} = 3\sqrt[5]{4} $

Ответ: $ 3\sqrt[5]{4} $

4) В дроби $ \frac{14}{\sqrt[3]{-49}} $ вынесем знак минус из-под знака кубического корня: $ \sqrt[3]{-49} = -\sqrt[3]{49} = -\sqrt[3]{7^2} $. Теперь домножим числитель и знаменатель на $ \sqrt[3]{7} $:

$ \frac{14}{\sqrt[3]{-49}} = \frac{14}{-\sqrt[3]{7^2}} = -\frac{14 \cdot \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^2} \cdot \sqrt[3]{7}} = -\frac{14\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7^3}} = -\frac{14\sqrt[3]{7}}{7} = -2\sqrt[3]{7} $

Ответ: $ -2\sqrt[3]{7} $

5) Для дроби $ \frac{9}{4 - \sqrt{7}} $ используем формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $ 4 + \sqrt{7} $:

$ \frac{9}{4 - \sqrt{7}} = \frac{9 \cdot (4 + \sqrt{7})}{(4 - \sqrt{7})(4 + \sqrt{7})} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{4^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{16 - 7} = \frac{9(4 + \sqrt{7})}{9} = 4 + \sqrt{7} $

Ответ: $ 4 + \sqrt{7} $

6) В дроби $ \frac{1}{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} $ знаменатель имеет вид $ a+b $, где $ a = \sqrt[3]{3} $ и $ b = \sqrt[3]{2} $. Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности $ a^2-ab+b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2} + (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4} $:

$ \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4})} = \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{(\sqrt[3]{3})^3 + (\sqrt[3]{2})^3} = \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{3 + 2} = \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{5} $

Ответ: $ \frac{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}{5} $

7) В дроби $ \frac{6}{2 - \sqrt[3]{5}} $ знаменатель имеет вид $ a-b $, где $ a = 2 $ и $ b = \sqrt[3]{5} $. Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $. Домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы $ a^2+ab+b^2 = 2^2 + 2\sqrt[3]{5} + (\sqrt[3]{5})^2 = 4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25} $:

$ \frac{6 \cdot (4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{(2 - \sqrt[3]{5})(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{2^3 - (\sqrt[3]{5})^3} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{8 - 5} = \frac{6(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25})}{3} $

Сократим дробь на 3: $ 2(4 + 2\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{25}) = 8 + 4\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{25} $.

Ответ: $ 8 + 4\sqrt[3]{5} + 2\sqrt[3]{25} $

8) Знаменатель дроби $ \frac{8}{\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1} $ представляет собой неполный квадрат разности $ a^2-ab+b^2 $, где $ a = \sqrt[3]{5} $ и $ b = 1 $. Чтобы избавиться от иррациональности, используем формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $. Домножим числитель и знаменатель на $ a+b = \sqrt[3]{5} + 1 $:

$ \frac{8 \cdot (\sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{5} + 1)(\sqrt[3]{5} + 1)} = \frac{8(\sqrt[3]{5} + 1)}{(\sqrt[3]{5})^3 + 1^3} = \frac{8(\sqrt[3]{5} + 1)}{5 + 1} = \frac{8(\sqrt[3]{5} + 1)}{6} $

Сократим дробь на 2: $ \frac{4(\sqrt[3]{5} + 1)}{3} $.

Ответ: $ \frac{4(\sqrt[3]{5} + 1)}{3} $