Номер 42.24, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.24. Упростите выражение:

1) $\sqrt{a\sqrt{a}}$;

2) $\sqrt{b\sqrt[3]{b^2}}$;

3) $\sqrt[5]{c\sqrt[3]{c}}$;

4) $\sqrt[12]{8}$;

5) $\sqrt[4]{9\sqrt[3]{9}}$;

6) $\sqrt[6]{2\sqrt[5]{2}}$.

1) Чтобы упростить выражение $ \sqrt{a\sqrt{a}} $, внесем множитель $a$ под знак внутреннего корня. Помним, что квадратный корень имеет показатель 2. Используем свойство $x \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n y}$.
$ \sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{a^2 \cdot a}} $
Упростим выражение под внутренним корнем:
$ \sqrt{\sqrt{a^3}} $
Теперь используем свойство корня из корня $ \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} $:
$ \sqrt[2 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[4]{a^3} $
Ответ: $ \sqrt[4]{a^3} $

2) Упростим выражение $ \sqrt[3]{b\sqrt[3]{b^2}} $. Внесем множитель $b$ под знак внутреннего кубического корня:
$ \sqrt[3]{b\sqrt[3]{b^2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{b^3 \cdot b^2}} $
Сложим степени под внутренним корнем:
$ \sqrt[3]{\sqrt[3]{b^{3+2}}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{b^5}} $
Применим свойство корня из корня $ \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[nm]{x} $:
$ \sqrt[3 \cdot 3]{b^5} = \sqrt[9]{b^5} $
Ответ: $ \sqrt[9]{b^5} $

3) Упростим выражение $ \sqrt[5]{c\sqrt[3]{c}} $. Внесем множитель $c$ под знак внутреннего кубического корня:
$ \sqrt[5]{c\sqrt[3]{c}} = \sqrt[5]{\sqrt[3]{c^3 \cdot c}} $
Упростим подкоренное выражение:
$ \sqrt[5]{\sqrt[3]{c^4}} $
Перемножим показатели корней:
$ \sqrt[5 \cdot 3]{c^4} = \sqrt[15]{c^4} $
Ответ: $ \sqrt[15]{c^4} $

4) Для упрощения выражения $ \sqrt[12]{8} $ представим число 8 в виде степени числа 2:
$ 8 = 2^3 $
Тогда выражение примет вид:
$ \sqrt[12]{2^3} $
Используя представление корня в виде степени с рациональным показателем $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $, получаем:
$ 2^{3/12} $
Сократим дробь в показателе степени:
$ 2^{1/4} $
Запишем результат в виде корня:
$ \sqrt[4]{2} $
Ответ: $ \sqrt[4]{2} $

5) Упростим выражение $ \sqrt[4]{9\sqrt[3]{9}} $. Представим корни в виде степеней с рациональными показателями.
$ \sqrt[4]{9\sqrt[3]{9}} = \sqrt[4]{9^1 \cdot 9^{1/3}} $
Сложим показатели степеней под внешним корнем, используя свойство $ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $:
$ \sqrt[4]{9^{1 + 1/3}} = \sqrt[4]{9^{4/3}} $
Теперь применим свойство $ (x^a)^b = x^{ab} $:
$ (9^{4/3})^{1/4} = 9^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}} = 9^{1/3} $
Запишем результат в виде корня:
$ \sqrt[3]{9} $
Ответ: $ \sqrt[3]{9} $

6) Упростим выражение $ \sqrt[6]{2\sqrt[5]{2}} $, используя степени с рациональными показателями.
$ \sqrt[6]{2\sqrt[5]{2}} = \sqrt[6]{2^1 \cdot 2^{1/5}} $
Сложим показатели степеней внутри:
$ \sqrt[6]{2^{1 + 1/5}} = \sqrt[6]{2^{6/5}} $
Преобразуем в степень с рациональным показателем:
$ (2^{6/5})^{1/6} = 2^{\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6}} = 2^{1/5} $
Запишем ответ в виде корня:
$ \sqrt[5]{2} $
Ответ: $ \sqrt[5]{2} $