Номер 42.20, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.20. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[7]{x-2})^7;$

2) $y = \sqrt[7]{(x-2)^7};$

3) $y = (\sqrt[8]{x-2})^8;$

4) $y = \sqrt[8]{(x-2)^8}.$

1) $y = (\sqrt[7]{x - 2})^7$

Область определения функции. Корень нечетной степени (7-й) определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Таким образом, выражение $x-2$ может быть любым действительным числом, и область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n > 1$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Применяя это тождество к нашей функции, где $a = x-2$ и $n=7$, получаем: $y = x-2$. Графиком функции $y = x-2$ является прямая линия.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x-2$.

2) $y = \sqrt[7]{(x - 2)^7}$

Область определения функции. Выражение $(x-2)^7$ определено для любого действительного $x$. Корень нечетной степени извлекается из любого действительного числа. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $a$ и нечетного натурального числа $n > 1$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = a$. Применяя это тождество, где $a = x-2$ и $n=7$, получаем: $y = x-2$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x-2$, которая совпадает с графиком из пункта 1.

3) $y = (\sqrt[8]{x - 2})^8$

Область определения функции. Корень четной степени (8-й) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому должно выполняться условие $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$. Область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$. На этой области определения для $a=x-2 \ge 0$ и четного $n=8$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Таким образом, функция упрощается до $y = x-2$ при условии $x \ge 2$. Графиком функции является часть прямой $y=x-2$, а именно луч, выходящий из точки, где $x=2$. Начальная точка луча: при $x=2$, $y = 2-2 = 0$, то есть точка (2, 0).

Ответ: Графиком функции является луч прямой $y = x-2$ с началом в точке (2, 0).

4) $y = \sqrt[8]{(x - 2)^8}$

Область определения функции. Выражение $(x-2)^8$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, так как любое число в четной степени неотрицательно. Корень четной степени из неотрицательного числа определен. Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Для любого действительного числа $a$ и четного натурального числа $n > 1$ справедливо тождество $\sqrt[n]{a^n} = |a|$. Применяя это тождество к нашей функции, где $a = x-2$ и $n=8$, получаем: $y = |x-2|$. График функции $y = |x-2|$ имеет "V"-образную форму с вершиной в точке, где подмодульное выражение равно нулю: $x-2=0 \implies x=2$. Координаты вершины: (2, 0). График состоит из двух лучей: - $y = x-2$ при $x-2 \ge 0$, то есть при $x \ge 2$. - $y = -(x-2) = -x+2$ при $x-2 < 0$, то есть при $x < 2$.

Ответ: Графиком функции является объединение двух лучей: $y = x-2$ при $x \ge 2$ и $y = -x+2$ при $x < 2$. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке (2, 0).