Номер 42.14, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.14. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 6x + 8} > 0$;

2) $\frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 9} < 0$;

3) $x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2}$;

4) $\frac{3x + 1}{x} \le 1$;

5) $\frac{5x - 1}{x} \ge 2$;

6) $\frac{x^3 - 8}{x^3 - 1} \le \frac{x - 2}{x - 1}$;

7) $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} < 4$;

8) $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} \ge 2$.

1)
Исходное неравенство: $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 6x + 8} > 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 - 5x + 4 = 0$ корни $x_1 = 1, x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.
Для знаменателя $x^2 + 6x + 8 = 0$ корни $x_1 = -4, x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + 6x + 8 = (x+4)(x+2)$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x-1)(x-4)}{(x+4)(x+2)} > 0 $.
Найдем нули числителя (1, 4) и нули знаменателя (-4, -2). Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Определим знаки выражения на полученных интервалах:
$(-\infty; -4): +$
$(-4; -2): -$
$(-2; 1): +$
$(1; 4): -$
$(4; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 1) \cup (4; +\infty)$.

2)
Исходное неравенство: $ \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 9} < 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x+3)} < 0 $.
Нули числителя: 0, 1, 2. Нули знаменателя: -3, 3. Отметим точки на числовой прямой. Все точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -3): -$
$(-3; 0): +$
$(0; 1): -$
$(1; 2): +$
$(2; 3): -$
$(3; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 1) \cup (2; 3)$.

3)
Исходное неравенство: $ x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2} $.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$x + \frac{1}{x} - \frac{5}{2} \ge 0$
$ \frac{2x^2 + 2 - 5x}{2x} \ge 0 $
$ \frac{2x^2 - 5x + 2}{2x} \ge 0 $.
Найдем корни числителя $2x^2 - 5x + 2 = 0$. $x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Корни $x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{2}$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x-2)(x-1/2)}{2x} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x-2)(x-1/2)}{x} \ge 0$.
Нули числителя: 1/2, 2 (включительно). Нуль знаменателя: 0 (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; 0): -$
$(0; 1/2]: +$
$[1/2; 2]: -$
$[2; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (0; 1/2] \cup [2; +\infty)$.

4)
Исходное неравенство: $ \frac{3x+1}{x} \le 1 $.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{3x+1}{x} - 1 \le 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{3x+1-x}{x} \le 0 \Rightarrow \frac{2x+1}{x} \le 0$.
Нуль числителя: $x = -1/2$ (включительно). Нуль знаменателя: $x=0$ (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -1/2]: +$
$[-1/2; 0): -$
$(0; +\infty): +$
Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-1/2; 0)$.

5)
Исходное неравенство: $ \frac{5x-1}{x} \ge 2 $.
Перенесем 2 в левую часть: $ \frac{5x-1}{x} - 2 \ge 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{5x-1-2x}{x} \ge 0 \Rightarrow \frac{3x-1}{x} \ge 0$.
Нуль числителя: $x = 1/3$ (включительно). Нуль знаменателя: $x=0$ (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; 0): +$
$(0; 1/3]: -$
$[1/3; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [1/3; +\infty)$.

6)
Исходное неравенство: $ \frac{x^3-8}{x^3-1} \le \frac{x-2}{x-1} $.
Область допустимых значений: $x \ne 1$.
Разложим $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$ и $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$. Выражения $x^2+2x+4$ и $x^2+x+1$ всегда положительны.
Перепишем неравенство: $ \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{x-2}{x-1} \le 0 $.
Вынесем общий множитель $\frac{x-2}{x-1}$:
$ \frac{x-2}{x-1} \left( \frac{x^2+2x+4}{x^2+x+1} - 1 \right) \le 0 $.
Упростим выражение в скобках: $ \frac{x^2+2x+4 - (x^2+x+1)}{x^2+x+1} = \frac{x+3}{x^2+x+1} $.
Неравенство примет вид: $ \frac{x-2}{x-1} \cdot \frac{x+3}{x^2+x+1} \le 0 $.
Так как $x^2+x+1 > 0$ для всех $x$, можем на него умножить: $ \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0 $.
Нули числителя: -3, 2 (включительно). Нуль знаменателя: 1 (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -3]: -$
$[-3; 1): +$
$(1; 2]: -$
$[2; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (1; 2]$.

7)
Исходное неравенство: $ \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} < 4 $.
Перенесем 4 влево и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2(x-2) + 3(x-1) - 4(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
$ \frac{2x-4 + 3x-3 - 4(x^2-3x+2)}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
$ \frac{5x - 7 - 4x^2 + 12x - 8}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
$ \frac{-4x^2 + 17x - 15}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{4x^2 - 17x + 15}{(x-1)(x-2)} > 0 $.
Найдем корни числителя $4x^2 - 17x + 15 = 0$. $x = \frac{17 \pm \sqrt{289-240}}{8} = \frac{17 \pm 7}{8}$. Корни $x_1 = 3, x_2 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
Неравенство примет вид: $ \frac{4(x-3)(x-5/4)}{(x-1)(x-2)} > 0 $.
Нули числителя: 5/4, 3. Нули знаменателя: 1, 2. Все точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; 1): +$
$(1; 5/4): -$
$(5/4; 2): +$
$(2; 3): -$
$(3; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5/4; 2) \cup (3; +\infty)$.

8)
Исходное неравенство: $ \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x+2} \ge 2 $.
Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2(x+2) + 3(x+1) - 2(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
$ \frac{2x+4 + 3x+3 - 2(x^2+3x+2)}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
$ \frac{5x + 7 - 2x^2 - 6x - 4}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
$ \frac{-2x^2 - x + 3}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{2x^2 + x - 3}{(x+1)(x+2)} \le 0 $.
Найдем корни числителя $2x^2 + x - 3 = 0$. $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Неравенство примет вид: $ \frac{2(x-1)(x+3/2)}{(x+1)(x+2)} \le 0 $.
Нули числителя: -3/2, 1 (включительно). Нули знаменателя: -2, -1 (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -2): +$
$(-2; -3/2]: -$
$[-3/2; -1): +$
$(-1; 1]: -$
$[1; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-2; -3/2] \cup (-1; 1]$.