Номер 42.9, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.9. На рисунке 42.1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Пользуясь графиком, определите:

1) сколько корней имеет уравнение $f(x) = 0$;

2) при каких значениях $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет хотя бы один корень;

3) при каких значениях $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет ровно два корня;

4) при каких значениях $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет ровно один корень.

1) сколько корней имеет уравнение f(x) = 0;

Корни уравнения $f(x) = 0$ — это абсциссы точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью $Ox$ (прямой $y=0$). Глядя на рисунок, мы видим, что график функции пересекает ось абсцисс в одной единственной точке.
Ответ: 1 корень.

2) при каких значениях a уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень;

Уравнение $f(x) = a$ будет иметь хотя бы один корень в том случае, если горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y = f(x)$ хотя бы в одной точке. Это возможно для всех значений $a$, которые принадлежат множеству значений функции.
Из графика видно, что наименьшее значение, которое принимает функция, равно $-2$ (это ордината точки локального минимума). При $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции — это промежуток от $-2$ включительно до $+\infty$.
Ответ: при $a \in [-2; +\infty)$.

3) при каких значениях a уравнение f(x) = a имеет ровно два корня;

Уравнение $f(x) = a$ имеет ровно два корня, если горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в двух точках. Проводя мысленно горизонтальные прямые, видим, что это происходит только тогда, когда прямая проходит через точку локального максимума. Ордината этой точки равна $1$. При $a = 1$ прямая $y=1$ касается графика в точке максимума и пересекает его еще в одной точке на левой ветви.
Ответ: при $a = 1$.

4) при каких значениях a уравнение f(x) = a имеет ровно один корень.

Уравнение $f(x) = a$ имеет ровно один корень, если горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке.
Из графика следует, что это возможно в двух случаях:
1. Прямая $y=a$ касается графика в точке локального минимума. Это происходит при $a = -2$.
2. Прямая $y=a$ проходит выше точки локального максимума (которая имеет ординату $1$). В этом случае прямая пересекает только левую ветвь графика, уходящую в $+\infty$. Это происходит при $a > 1$.
Объединяя эти два случая, получаем искомые значения.
Ответ: при $a = -2$ и при $a \in (1; +\infty)$.