Номер 42.6, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.6. Задайте формулой какую-нибудь функцию, область определения которой:

1) состоит из одного числа;

2) состоит из двух чисел;

3) промежуток $[0; 1]$.

1) состоит из одного числа
Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Чтобы область определения состояла из одного числа, например $x=c$, нужно задать функцию, выражение которой имеет смысл только в этой точке.
Этого можно достичь с помощью комбинации квадратных корней. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x-c} + \sqrt{c-x}$.
Эта функция определена только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:
$x-c \ge 0 \implies x \ge c$
$c-x \ge 0 \implies x \le c$
Единственное число, которое одновременно больше или равно $c$ и меньше или равно $c$ – это само число $c$. Таким образом, область определения этой функции $D(y) = \{c\}$.
В качестве примера выберем $c=7$.
Ответ: $y = \sqrt{x-7} + \sqrt{7-x}$

2) состоит из двух чисел
Чтобы область определения состояла из двух чисел, например $x=a$ и $x=b$, можно использовать свойство, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Создадим такое выражение, которое равно нулю в точках $a$ и $b$ и отрицательно во всех остальных точках.
Рассмотрим выражение $(x-a)^2(x-b)^2$. Оно равно нулю при $x=a$ или $x=b$, и положительно в остальных случаях. Если мы возьмем это выражение с противоположным знаком, $-(x-a)^2(x-b)^2$, оно будет равно нулю в точках $a$ и $b$, и отрицательно во всех остальных точках.
Тогда функция $y = \sqrt{-(x-a)^2(x-b)^2}$ будет определена только при условии $-(x-a)^2(x-b)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется только тогда, когда выражение равно нулю, то есть при $x=a$ или $x=b$.
В качестве примера выберем числа $-1$ и $1$.
Ответ: $y = \sqrt{-(x-1)^2(x+1)^2}$ (или $y = \sqrt{-(x^2-1)^2}$)

3) промежуток [0; 1]
Чтобы область определения функции была промежутком $[0; 1]$, нужно, чтобы выражение, задающее функцию, было определено для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $0 \le x \le 1$.
Воспользуемся снова квадратными корнями. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$.
Она определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:
$x \ge 0$
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
Оба условия должны выполняться одновременно, что соответствует промежутку $[0; 1]$.
Другим примером может служить функция $y = \sqrt{x(1-x)}$, так как подкоренное выражение $x(1-x)$ неотрицательно именно на промежутке $[0; 1]$.
Ответ: $y = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$