Номер 10, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10. Решите уравнение $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$.

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases}5 - x \ge 0 \\x - 3 \ge 0\end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases}x \le 5 \\x \ge 3\end{cases}$

Следовательно, ОДЗ для данного уравнения: $x \in [3, 5]$.

Теперь рассмотрим левую и правую части уравнения как две отдельные функции на отрезке $[3, 5]$.

1. Анализ левой части уравнения.

Пусть $f(x) = \sqrt{5-x} + \sqrt{x-3}$. Найдем наибольшее значение этой функции на отрезке $[3, 5]$. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3})' = \frac{(5-x)'}{2\sqrt{5-x}} + \frac{(x-3)'}{2\sqrt{x-3}} = -\frac{1}{2\sqrt{5-x}} + \frac{1}{2\sqrt{x-3}}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$f'(x) = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x-3}} = \frac{1}{2\sqrt{5-x}}$

$\sqrt{x-3} = \sqrt{5-x}$

$x-3 = 5-x$

$2x = 8$

$x = 4$.

Точка $x=4$ принадлежит отрезку $[3, 5]$. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$f(3) = \sqrt{5-3} + \sqrt{3-3} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

$f(5) = \sqrt{5-5} + \sqrt{5-3} = 0 + \sqrt{2} = \sqrt{2}$

$f(4) = \sqrt{5-4} + \sqrt{4-3} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1+1=2$

Таким образом, наибольшее значение левой части уравнения на ОДЗ равно 2, то есть $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \le 2$.

2. Анализ правой части уравнения.

Пусть $g(x) = x^2 - 8x + 18$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Найдем ее наименьшее значение, выделив полный квадрат:

$g(x) = x^2 - 8x + 16 - 16 + 18 = (x-4)^2 + 2$.

Поскольку $(x-4)^2 \ge 0$ для любого $x$, наименьшее значение функции $g(x)$ достигается при $x=4$ и равно 2. Вершина параболы находится в точке $(4, 2)$.

Таким образом, для любого $x$ из ОДЗ (и вообще для любого действительного $x$) правая часть уравнения не меньше 2, то есть $x^2 - 8x + 18 \ge 2$.

3. Решение уравнения.

Исходное уравнение $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = x^2 - 8x + 18$ может иметь решение только в том случае, когда обе его части равны. Мы установили, что:

Левая часть: $\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} \le 2$

Правая часть: $x^2 - 8x + 18 \ge 2$

Равенство возможно только тогда, когда обе части одновременно равны 2:

$\begin{cases}\sqrt{5-x} + \sqrt{x-3} = 2 \\x^2 - 8x + 18 = 2\end{cases}$

Как мы выяснили, левая часть равна 2 только при $x=4$, а правая часть равна 2 тоже только при $x=4$.

Следовательно, единственным решением системы и исходного уравнения является $x=4$.

Проверка:

Подставим $x=4$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5-4} + \sqrt{4-3} = 4^2 - 8(4) + 18$

$\sqrt{1} + \sqrt{1} = 16 - 32 + 18$

$1 + 1 = 2$

$2 = 2$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 4.