Номер 3, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3. Решите уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1-8x}$.

Данное уравнение $3x^7 + x + 7 = \sqrt{1 - 8x}$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$1 - 8x \ge 0$
$1 \ge 8x$
$x \le \frac{1}{8}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{1}{8}]$.

Решить это уравнение стандартными алгебраическими методами (например, возведением в квадрат) затруднительно, так как это приведет к полиномиальному уравнению 14-й степени. Вместо этого проанализируем поведение функций в левой и правой частях уравнения.

Рассмотрим две функции:
Левая часть: $f(x) = 3x^7 + x + 7$
Правая часть: $g(x) = \sqrt{1 - 8x}$

Исследуем эти функции на монотонность на области допустимых значений.
Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^7 + x + 7)' = 21x^6 + 1$
Поскольку $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \ge 0$), то $21x^6 \ge 0$. Следовательно, $f'(x) = 21x^6 + 1 \ge 1 > 0$ для любых действительных значений $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, включая ОДЗ.

Теперь найдем производную функции $g(x)$ для $x < \frac{1}{8}$:
$g'(x) = (\sqrt{1 - 8x})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - 8x}} \cdot (1 - 8x)' = \frac{-8}{2\sqrt{1 - 8x}} = -\frac{4}{\sqrt{1 - 8x}}$
На интервале $(-\infty, \frac{1}{8})$ знаменатель $\sqrt{1 - 8x}$ строго положителен, поэтому значение производной $g'(x)$ всегда отрицательно. Это означает, что функция $g(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения.

Мы имеем уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(x)$ — строго убывающая функция. Такое уравнение может иметь не более одного корня. Если корень существует, то он единственный.

Попробуем найти этот корень методом подбора, проверяя простые целые числа из области допустимых значений ($x \le \frac{1}{8}$).
Проверим значение $x = -1$.
Подставим в левую часть уравнения:
$3(-1)^7 + (-1) + 7 = 3(-1) - 1 + 7 = -3 - 1 + 7 = 3$
Подставим в правую часть уравнения:
$\sqrt{1 - 8(-1)} = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$
Левая часть равна правой ($3=3$), следовательно, $x = -1$ является корнем уравнения.

Так как было доказано, что уравнение может иметь не более одного решения, найденный корень $x = -1$ является единственным.
Ответ: $-1$.