Номер 7, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7. Решите неравенство $x^5 + 4x < 2x^3 + 3$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить неравенство вида $P(x) < 0$:

$x^5 + 4x - 2x^3 - 3 < 0$

Расположим члены многочлена по убыванию степеней:

$x^5 - 2x^3 + 4x - 3 < 0$

Рассмотрим многочлен в левой части: $P(x) = x^5 - 2x^3 + 4x - 3$. Для решения неравенства нам нужно найти корни этого многочлена. Воспользуемся теоремой о рациональных корнях, согласно которой, если у многочлена есть целые корни, то они являются делителями свободного члена, то есть числа -3. Возможные целые корни: $\pm1, \pm3$.

Подставим $x=1$ в многочлен:

$P(1) = 1^5 - 2(1)^3 + 4(1) - 3 = 1 - 2 + 4 - 3 = 0$

Поскольку $P(1)=0$, то $x=1$ является корнем многочлена, а следовательно, многочлен $P(x)$ делится на двучлен $(x-1)$ без остатка. Выполнив деление (например, по схеме Горнера или "в столбик"), получим:

$x^5 - 2x^3 + 4x - 3 = (x - 1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3)$

Теперь исходное неравенство можно записать в виде:

$(x - 1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$

Чтобы решить это неравенство, нам нужно определить знаки обоих множителей. Исследуем знак второго множителя, $Q(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3$. Для этого найдем его наименьшее значение с помощью производной.

Найдем производную функции $Q(x)$:

$Q'(x) = (x^4 + x^3 - x^2 - x + 3)' = 4x^3 + 3x^2 - 2x - 1$

Найдем критические точки, решив уравнение $Q'(x) = 0$:

$4x^3 + 3x^2 - 2x - 1 = 0$

Легко заметить, что $x = -1$ является корнем этого уравнения: $4(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = -4 + 3 + 2 - 1 = 0$.

Разделив $4x^3 + 3x^2 - 2x - 1$ на $(x+1)$, получим квадратный трехчлен $4x^2 - x - 1$. Таким образом, производную можно разложить на множители:

$Q'(x) = (x+1)(4x^2 - x - 1)$

Остальные критические точки найдем из уравнения $4x^2 - x - 1 = 0$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 1 + 16 = 17$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$

Итак, у функции $Q(x)$ три критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{8}$, $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$.

Чтобы определить, являются ли эти точки точками минимума или максимума, можно использовать вторую производную, $Q''(x) = 12x^2 + 6x - 2$, или проанализировать знаки первой производной на интервалах. Анализ показывает, что точки $x_1 = -1$ и $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}$ являются точками локального минимума.

Вычислим значения функции $Q(x)$ в этих точках минимума:

$Q(-1) = (-1)^4 + (-1)^3 - (-1)^2 - (-1) + 3 = 1 - 1 - 1 + 1 + 3 = 3$

Значение во второй точке минимума $Q(\frac{1 + \sqrt{17}}{8})$ также положительно (его точное значение $\frac{1429 - 51\sqrt{17}}{512} > 0$).

Поскольку оба локальных минимума функции $Q(x)$ положительны, а при $x \to \pm\infty$ функция $Q(x) \to +\infty$ (так как старшая степень четная с положительным коэффициентом), то наименьшее значение функции $Q(x)$ положительно. Это означает, что $Q(x) = x^4 + x^3 - x^2 - x + 3 > 0$ для всех действительных значений $x$.

Так как множитель $(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3)$ всегда положителен, он не влияет на знак произведения. Следовательно, знак левой части неравенства $(x - 1)(x^4 + x^3 - x^2 - x + 3) < 0$ определяется знаком первого множителя $(x-1)$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно простому линейному неравенству:

$x - 1 < 0$

Решая его, получаем:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.