Номер 11, страница 309 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11. Решите уравнение $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x}=x^2+6x+13$.

Решим уравнение $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} = x^2+6x+13$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+7 \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -7 \\ x \le 1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \in [-7; 1]$.

Теперь проанализируем левую и правую части уравнения на этой области определения.

1. Левая часть: $f(x) = \sqrt{x+7}+\sqrt{1-x}$

Найдем наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[-7; 1]$. Для этого найдем ее производную:

$f'(x) = (\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x})' = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} \cdot (x+7)' + \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \cdot (1-x)' = \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$f'(x)=0 \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+7}} - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x+7}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$

$\sqrt{x+7} = \sqrt{1-x}$

Возведем обе части в квадрат:

$x+7 = 1-x$

$2x = -6$

$x = -3$

Точка $x=-3$ принадлежит ОДЗ $[-7; 1]$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка:

$f(-7) = \sqrt{-7+7} + \sqrt{1-(-7)} = \sqrt{0} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$f(1) = \sqrt{1+7} + \sqrt{1-1} = \sqrt{8} + \sqrt{0} = 2\sqrt{2}$

$f(-3) = \sqrt{-3+7} + \sqrt{1-(-3)} = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2+2=4$

Сравнивая значения, видим, что наибольшее значение левой части на ОДЗ равно 4. Таким образом, для любого $x \in [-7; 1]$ выполняется неравенство $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} \le 4$.

2. Правая часть: $g(x) = x^2+6x+13$

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем координату $x$ вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$

Вершина параболы находится в точке $x=-3$, которая принадлежит ОДЗ. Найдем наименьшее значение функции в этой точке:

$g(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$

Таким образом, наименьшее значение правой части на ОДЗ равно 4. То есть, для любого $x \in [-7; 1]$ выполняется неравенство $x^2+6x+13 \ge 4$.

3. Решение уравнения

Мы получили систему оценок для левой и правой частей уравнения:

$\begin{cases} \sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} \le 4 \\ x^2+6x+13 \ge 4 \end{cases}$

Равенство $\sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} = x^2+6x+13$ возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 4:

$\begin{cases} \sqrt{x+7}+\sqrt{1-x} = 4 \\ x^2+6x+13 = 4 \end{cases}$

Мы выяснили, что обе эти функции принимают значение 4 в одной и той же точке $x=-3$.

Выполним проверку. Подставим $x=-3$ в исходное уравнение:

$\sqrt{-3+7}+\sqrt{1-(-3)} = (-3)^2+6(-3)+13$

$\sqrt{4}+\sqrt{4} = 9-18+13$

$2+2 = 4$

$4=4$

Равенство верное. Следовательно, $x=-3$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $-3$.