Номер 42.5, страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.5. Постройте график и укажите промежутки возрастания, убывания функции:

1) $f(x) = -\frac{8}{x}$, если $x \le -4$,

$-x-2$, если $-4 < x < 2$,

$-\frac{8}{x}$, если $x \ge 2;$

2) $f(x) = 5$, если $x \le -2$,

$x^2 - 2x - 3$, если $-2 < x < 4$,

$2x - 3$, если $x \ge 4$.

1)

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x)$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

Участок 1: $f(x) = -\frac{8}{x}$ при $x \le -4$.
Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Найдем значение функции на границе промежутка: $f(-4) = -\frac{8}{-4} = 2$. Следовательно, точка $(-4, 2)$ принадлежит графику. На промежутке $(-\infty, -4)$ производная $f'(x) = \frac{8}{x^2} > 0$, значит, функция возрастает. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$.

Участок 2: $f(x) = -x - 2$ при $-4 < x < 2$.
Это отрезок прямой. График этой функции — прямая с угловым коэффициентом $-1$, поэтому функция убывает на всем этом интервале. Найдем значения на концах интервала (эти точки не будут принадлежать графику, они "выколотые"): при $x = -4$, $y = -(-4) - 2 = 2$. при $x = 2$, $y = -(2) - 2 = -4$. График соединяет точки $(-4, 2)$ и $(2, -4)$.

Участок 3: $f(x) = -\frac{8}{x}$ при $x \ge 2$.
Это ветвь той же гиперболы, но расположенная в четвертой координатной четверти. Найдем значение на границе промежутка: $f(2) = -\frac{8}{2} = -4$. Следовательно, точка $(2, -4)$ принадлежит графику. На промежутке $(2, +\infty)$ производная $f'(x) = \frac{8}{x^2} > 0$, значит, функция возрастает. При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$.

Соединив все участки, получаем график функции. Функция непрерывна на всей числовой прямой, так как значения на "стыках" ($x=-4$ и $x=2$) совпадают.

Промежутки возрастания и убывания:
- На промежутке $(-\infty, -4]$ функция возрастает.
- На промежутке $[-4, 2]$ функция убывает.
- На промежутке $[2, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[2, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-4, 2]$.

2)

Рассмотрим каждый участок функции $f(x)$ отдельно.

Участок 1: $f(x) = 5$ при $x \le -2$.
Это горизонтальный луч, идущий из $-\infty$ и заканчивающийся в точке $(-2, 5)$, которая принадлежит графику. На этом промежутке функция является постоянной.

Участок 2: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ при $-2 < x < 4$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_0 = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -4)$. Так как $x_0=1$ принадлежит интервалу $(-2, 4)$, то на этом интервале у функции есть точка минимума. Найдем значения на концах интервала ("выколотые" точки):
при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$.
при $x = 4$, $y = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$.
На промежутке $(-2, 1]$ функция убывает, а на промежутке $[1, 4)$ — возрастает.

Участок 3: $f(x) = 2x - 3$ при $x \ge 4$.
Это луч прямой с угловым коэффициентом $2$. Найдем начальную точку луча: $f(4) = 2(4) - 3 = 5$. Точка $(4, 5)$ принадлежит графику. Так как угловой коэффициент положителен, функция на этом промежутке возрастает.

Функция непрерывна на всей числовой прямой, так как значения на "стыках" ($x=-2$ и $x=4$) совпадают.

Промежутки возрастания и убывания:
- На промежутке $(-\infty, -2]$ функция постоянна.
- На промежутке $[-2, 1]$ функция убывает (от постоянного значения к вершине параболы).
- На промежутке $[1, +\infty)$ функция возрастает (от вершины параболы и далее по прямой).

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-2, 1]$.