Страница 317 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.4. Найдите нули функции:

1) $f(x) = \sqrt{x + 7};$

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1};$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 6};$

4) $f(x) = (x - 3)\sqrt{x - 4}.$

1) $f(x) = \sqrt{x + 7}$

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю. Для нахождения нулей функции необходимо найти ее область определения (ОДЗ) и решить уравнение $f(x) = 0$.

1. Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x + 7 \ge 0$

$x \ge -7$

Таким образом, область определения функции $D(f) = [-7, +\infty)$.

2. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$\sqrt{x + 7} = 0$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x + 7 = 0$

$x = -7$

3. Проверим, принадлежит ли найденный корень области определения. Значение $x = -7$ удовлетворяет условию $x \ge -7$, следовательно, является нулем функции.

Ответ: -7

2) $f(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x - 1 \ne 0$

$x \ne 1$

Область определения $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Приравняем функцию к нулю:

$\frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель ($x \ne 1$) мы уже учли в ОДЗ.

Решим уравнение для числителя:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

3. Проверим, принадлежат ли найденные корни области определения. Корень $x = -5$ принадлежит ОДЗ. Корень $x = 1$ не принадлежит ОДЗ. Следовательно, $x=1$ является посторонним корнем.

Таким образом, функция имеет только один нуль.

Ответ: -5

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 6}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 - 6 \ge 0$

$x^2 \ge 6$

Решением этого неравенства является $|x| \ge \sqrt{6}$, что равносильно совокупности:

$x \le -\sqrt{6}$ или $x \ge \sqrt{6}$.

Область определения $D(f) = (-\infty, -\sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, +\infty)$.

2. Теперь решим уравнение $f(x) = 0$:

$\sqrt{x^2 - 6} = 0$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 6$

$x_1 = \sqrt{6}$, $x_2 = -\sqrt{6}$

3. Оба корня, $x = \sqrt{6}$ и $x = -\sqrt{6}$, принадлежат области определения функции.

Ответ: $-\sqrt{6}; \sqrt{6}$

4) $f(x) = (x - 3)\sqrt{x - 4}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Область определения $D(f) = [4, +\infty)$.

2. Решим уравнение $f(x) = 0$:

$(x - 3)\sqrt{x - 4} = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что все множители определены. Условия определения мы учли в ОДЗ.

Рассмотрим два случая:

а) $x - 3 = 0 \implies x = 3$

б) $\sqrt{x - 4} = 0 \implies x - 4 = 0 \implies x = 4$

3. Проверим найденные значения на принадлежность области определения $D(f) = [4, +\infty)$.

Значение $x = 3$ не входит в область определения, так как $3 < 4$. Следовательно, это посторонний корень.

Значение $x = 4$ входит в область определения, так как $4 \ge 4$. Следовательно, это нуль функции.

Ответ: 4

42.5. Постройте график и укажите промежутки возрастания, убывания функции:

1) $f(x) = -\frac{8}{x}$, если $x \le -4$,

$-x-2$, если $-4 < x < 2$,

$-\frac{8}{x}$, если $x \ge 2;$

2) $f(x) = 5$, если $x \le -2$,

$x^2 - 2x - 3$, если $-2 < x < 4$,

$2x - 3$, если $x \ge 4$.

1)

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x)$ рассмотрим каждый ее участок отдельно.

Участок 1: $f(x) = -\frac{8}{x}$ при $x \le -4$.
Это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Найдем значение функции на границе промежутка: $f(-4) = -\frac{8}{-4} = 2$. Следовательно, точка $(-4, 2)$ принадлежит графику. На промежутке $(-\infty, -4)$ производная $f'(x) = \frac{8}{x^2} > 0$, значит, функция возрастает. При $x \to -\infty$, $f(x) \to 0$.

Участок 2: $f(x) = -x - 2$ при $-4 < x < 2$.
Это отрезок прямой. График этой функции — прямая с угловым коэффициентом $-1$, поэтому функция убывает на всем этом интервале. Найдем значения на концах интервала (эти точки не будут принадлежать графику, они "выколотые"): при $x = -4$, $y = -(-4) - 2 = 2$. при $x = 2$, $y = -(2) - 2 = -4$. График соединяет точки $(-4, 2)$ и $(2, -4)$.

Участок 3: $f(x) = -\frac{8}{x}$ при $x \ge 2$.
Это ветвь той же гиперболы, но расположенная в четвертой координатной четверти. Найдем значение на границе промежутка: $f(2) = -\frac{8}{2} = -4$. Следовательно, точка $(2, -4)$ принадлежит графику. На промежутке $(2, +\infty)$ производная $f'(x) = \frac{8}{x^2} > 0$, значит, функция возрастает. При $x \to +\infty$, $f(x) \to 0$.

Соединив все участки, получаем график функции. Функция непрерывна на всей числовой прямой, так как значения на "стыках" ($x=-4$ и $x=2$) совпадают.

Промежутки возрастания и убывания:
- На промежутке $(-\infty, -4]$ функция возрастает.
- На промежутке $[-4, 2]$ функция убывает.
- На промежутке $[2, +\infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -4]$ и $[2, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-4, 2]$.

2)

Рассмотрим каждый участок функции $f(x)$ отдельно.

Участок 1: $f(x) = 5$ при $x \le -2$.
Это горизонтальный луч, идущий из $-\infty$ и заканчивающийся в точке $(-2, 5)$, которая принадлежит графику. На этом промежутке функция является постоянной.

Участок 2: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ при $-2 < x < 4$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_0 = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -4)$. Так как $x_0=1$ принадлежит интервалу $(-2, 4)$, то на этом интервале у функции есть точка минимума. Найдем значения на концах интервала ("выколотые" точки):
при $x = -2$, $y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$.
при $x = 4$, $y = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$.
На промежутке $(-2, 1]$ функция убывает, а на промежутке $[1, 4)$ — возрастает.

Участок 3: $f(x) = 2x - 3$ при $x \ge 4$.
Это луч прямой с угловым коэффициентом $2$. Найдем начальную точку луча: $f(4) = 2(4) - 3 = 5$. Точка $(4, 5)$ принадлежит графику. Так как угловой коэффициент положителен, функция на этом промежутке возрастает.

Функция непрерывна на всей числовой прямой, так как значения на "стыках" ($x=-2$ и $x=4$) совпадают.

Промежутки возрастания и убывания:
- На промежутке $(-\infty, -2]$ функция постоянна.
- На промежутке $[-2, 1]$ функция убывает (от постоянного значения к вершине параболы).
- На промежутке $[1, +\infty)$ функция возрастает (от вершины параболы и далее по прямой).

Ответ: функция возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; функция убывает на промежутке $[-2, 1]$.

42.6. Задайте формулой какую-нибудь функцию, область определения которой:

1) состоит из одного числа;

2) состоит из двух чисел;

3) промежуток $[0; 1]$.

1) состоит из одного числа
Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Чтобы область определения состояла из одного числа, например $x=c$, нужно задать функцию, выражение которой имеет смысл только в этой точке.
Этого можно достичь с помощью комбинации квадратных корней. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x-c} + \sqrt{c-x}$.
Эта функция определена только тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:
$x-c \ge 0 \implies x \ge c$
$c-x \ge 0 \implies x \le c$
Единственное число, которое одновременно больше или равно $c$ и меньше или равно $c$ – это само число $c$. Таким образом, область определения этой функции $D(y) = \{c\}$.
В качестве примера выберем $c=7$.
Ответ: $y = \sqrt{x-7} + \sqrt{7-x}$

2) состоит из двух чисел
Чтобы область определения состояла из двух чисел, например $x=a$ и $x=b$, можно использовать свойство, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Создадим такое выражение, которое равно нулю в точках $a$ и $b$ и отрицательно во всех остальных точках.
Рассмотрим выражение $(x-a)^2(x-b)^2$. Оно равно нулю при $x=a$ или $x=b$, и положительно в остальных случаях. Если мы возьмем это выражение с противоположным знаком, $-(x-a)^2(x-b)^2$, оно будет равно нулю в точках $a$ и $b$, и отрицательно во всех остальных точках.
Тогда функция $y = \sqrt{-(x-a)^2(x-b)^2}$ будет определена только при условии $-(x-a)^2(x-b)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется только тогда, когда выражение равно нулю, то есть при $x=a$ или $x=b$.
В качестве примера выберем числа $-1$ и $1$.
Ответ: $y = \sqrt{-(x-1)^2(x+1)^2}$ (или $y = \sqrt{-(x^2-1)^2}$)

3) промежуток [0; 1]
Чтобы область определения функции была промежутком $[0; 1]$, нужно, чтобы выражение, задающее функцию, было определено для всех $x$, удовлетворяющих неравенству $0 \le x \le 1$.
Воспользуемся снова квадратными корнями. Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$.
Она определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны:
$x \ge 0$
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
Оба условия должны выполняться одновременно, что соответствует промежутку $[0; 1]$.
Другим примером может служить функция $y = \sqrt{x(1-x)}$, так как подкоренное выражение $x(1-x)$ неотрицательно именно на промежутке $[0; 1]$.
Ответ: $y = \sqrt{x} + \sqrt{1-x}$

42.7. Задайте формулой какую-нибудь функцию, область значений которой:

1) состоит из одного числа;

2) состоит из двух чисел;

3) промежуток $(1; 2)$.

1) состоит из одного числа

Чтобы область значений функции состояла из одного числа, функция должна при любом значении аргумента $x$ принимать одно и то же значение. Такие функции называются постоянными или константами.

Общий вид такой функции: $y = C$, где $C$ – некоторое постоянное число.

Например, выберем число 5. Тогда функция, заданная формулой $y = 5$, будет иметь область значений, состоящую только из этого числа. Для любого действительного $x$ значение $y$ будет равно 5.

Область определения такой функции – все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), а область значений – множество, содержащее единственный элемент $\{5\}$ ($E(y) = \{5\}$).

Ответ: $y = 5$ (или $y=C$, где $C$ – любое число).

2) состоит из двух чисел

Чтобы область значений функции состояла из двух чисел, нужно задать формулу, которая может давать только два различных значения. В качестве примера можно использовать функции, содержащие модуль или знак числа.

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x|}{x}$.

Область определения этой функции – все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$).

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает значение $y = \frac{x}{x} = 1$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает значение $y = \frac{-x}{x} = -1$.

Таким образом, для любых ненулевых значений аргумента $x$ функция принимает только значения 1 или -1. Её область значений состоит из двух чисел: $E(y) = \{-1; 1\}$.

Другим примером может служить функция, использующая целую часть числа: $y = (-1)^{\lfloor x \rfloor}$. Поскольку $\lfloor x \rfloor$ (целая часть $x$) всегда является целым числом, $(-1)$ в целой степени будет равно либо 1 (если степень четная), либо -1 (если степень нечетная). Область значений этой функции также $E(y) = \{-1; 1\}$.

Ответ: $y = \frac{|x|}{x}$.

3) промежуток (1; 2)

Требуется найти функцию, область значений которой – это открытый интервал $(1; 2)$. Это означает, что значения функции $y$ должны удовлетворять строгому неравенству $1 < y < 2$.

Для этого можно взять функцию, у которой есть две горизонтальные асимптоты, и затем преобразовать её.

1. Возьмем за основу функцию, область значений которой – известный открытый интервал, например, $(0; 1)$. Примером такой функции является логистическая функция $f(x) = \frac{1}{1+e^x}$.
- При $x \to +\infty$, знаменатель $1+e^x \to +\infty$, и значение функции $f(x) \to 0$.
- При $x \to -\infty$, $e^x \to 0$, знаменатель $1+e^x \to 1$, и значение функции $f(x) \to 1$.
Поскольку функция монотонно убывает, ее область значений – это интервал $(0; 1)$.

2. Теперь преобразуем эту функцию так, чтобы ее область значений стала $(1; 2)$. Интервал $(1; 2)$ можно получить из интервала $(0; 1)$ путем сдвига вверх на 1. Для этого к нашей функции нужно прибавить 1.

Получаем искомую функцию: $y = \frac{1}{1+e^x} + 1$.

Проверим её область значений:

• При $x \to +\infty$, $y \to 0 + 1 = 1$.
• При $x \to -\infty$, $y \to 1 + 1 = 2$.

Значения функции строго больше 1 и строго меньше 2, то есть область значений $E(y) = (1; 2)$.

Другой вариант — использовать функцию арктангенса $y = \arctan(x)$, область значений которой $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, и выполнить линейное преобразование для получения интервала $(1; 2)$. Функция будет $y = \frac{1}{\pi}\arctan(x) + 1.5$.

Ответ: $y = \frac{1}{1+e^x} + 1$.

42.8. Постройте график какой-нибудь функции, область определения которой — промежуток $ [-2; 6] $, область значений — промежуток $ [-1; 3] $ и которая убывает на промежутке $ [-2; 1] $, возрастает на промежутке $ [1; 6] $, принимает положительные значения на промежутке $ [-2; 0) $ и отрицательные на промежутке $ (0; 6] $.

Для построения графика функции $y=f(x)$, удовлетворяющей заданным условиям, необходимо проанализировать каждое из них и на их основе определить вид графика и его ключевые точки.

Проанализируем предоставленные условия:

• Область определения $D(f) = [-2; 6]$: График функции должен быть определён для всех значений $x$ в этом промежутке, то есть он будет начинаться при $x=-2$ и заканчиваться при $x=6$.
• Область значений $E(f) = [-1; 3]$: Все значения функции $y$ находятся в этом промежутке. Это означает, что наименьшее значение функции (абсолютный минимум) равно -1, а наибольшее (абсолютный максимум) равно 3.
• Монотонность: Функция убывает на промежутке $[-2; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; 6]$. Из этого следует, что точка $x=1$ является точкой минимума. Совмещая это с областью значений, получаем, что точка минимума имеет координаты $(1, -1)$.
• Знаки функции: Функция принимает положительные значения ($y > 0$) на промежутке $[-2; 0)$ и отрицательные значения ($y < 0$) на промежутке $(0; 6]$. Это означает, что при $x=0$ функция меняет знак, то есть пересекает ось абсцисс. Следовательно, $f(0)=0$, и точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

Теперь определим значения функции на концах области определения. Максимальное значение функции равно 3. Так как на $[-2; 1]$ функция убывает, а на $[1; 6]$ возрастает, максимум может быть достигнут только в одной из граничных точек области определения: $x=-2$ или $x=6$. Условие о знаках функции гласит, что $f(-2) > 0$, а $f(6) < 0$. Таким образом, максимальное значение 3 достигается в точке $x=-2$. Координаты точки максимума — $(-2, 3)$.

В конечной точке области определения, при $x=6$, значение функции $f(6)$ должно быть отрицательным. Кроме того, на промежутке $[1; 6]$ функция возрастает от своего минимума $f(1)=-1$. Следовательно, значение $f(6)$ должно удовлетворять неравенству $-1 < f(6) < 0$. Для построения графика можно выбрать любое конкретное значение из этого интервала, например, $f(6) = -0.5$.

Таким образом, мы получили ключевые точки, через которые должен проходить график:

• Точка максимума: $(-2, 3)$.
• Точка пересечения с осями: $(0, 0)$.
• Точка минимума: $(1, -1)$.
• Конечная точка: $(6, -0.5)$ (значение ординаты может быть любым в интервале $(-1, 0)$).

Самый простой способ построить такой график — соединить эти точки отрезками прямых. Полученная ломаная будет графиком кусочно-линейной функции, которая удовлетворяет всем заданным условиям.

Ответ:

Один из возможных графиков, удовлетворяющих условиям задачи, — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки с координатами $(-2, 3)$, $(0, 0)$, $(1, -1)$ и $(6, -0.5)$.

Построение графика заключается в следующем:

1. На координатной плоскости отметить точки $A(-2, 3)$, $B(0, 0)$, $C(1, -1)$ и $D(6, -0.5)$.
2. Последовательно соединить отрезками точки A и B, B и C, C и D.

Полученная ломаная линия $ABCD$ является графиком функции, которая убывает на промежутке $[-2; 1]$ (от точки A до точки C), возрастает на промежутке $[1; 6]$ (от точки C до точки D), имеет область определения $[-2; 6]$, область значений $[-1; 3]$, положительна на $[-2; 0)$ и отрицательна на $(0; 6]$.

42.9. На рисунке 42.1 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Пользуясь графиком, определите:

1) сколько корней имеет уравнение $f(x) = 0$;

2) при каких значениях $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет хотя бы один корень;

3) при каких значениях $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет ровно два корня;

4) при каких значениях $a$ уравнение $f(x) = a$ имеет ровно один корень.

1) сколько корней имеет уравнение f(x) = 0;

Корни уравнения $f(x) = 0$ — это абсциссы точек пересечения графика функции $y = f(x)$ с осью $Ox$ (прямой $y=0$). Глядя на рисунок, мы видим, что график функции пересекает ось абсцисс в одной единственной точке.
Ответ: 1 корень.

2) при каких значениях a уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень;

Уравнение $f(x) = a$ будет иметь хотя бы один корень в том случае, если горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y = f(x)$ хотя бы в одной точке. Это возможно для всех значений $a$, которые принадлежат множеству значений функции.
Из графика видно, что наименьшее значение, которое принимает функция, равно $-2$ (это ордината точки локального минимума). При $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$. Таким образом, множество значений функции — это промежуток от $-2$ включительно до $+\infty$.
Ответ: при $a \in [-2; +\infty)$.

3) при каких значениях a уравнение f(x) = a имеет ровно два корня;

Уравнение $f(x) = a$ имеет ровно два корня, если горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в двух точках. Проводя мысленно горизонтальные прямые, видим, что это происходит только тогда, когда прямая проходит через точку локального максимума. Ордината этой точки равна $1$. При $a = 1$ прямая $y=1$ касается графика в точке максимума и пересекает его еще в одной точке на левой ветви.
Ответ: при $a = 1$.

4) при каких значениях a уравнение f(x) = a имеет ровно один корень.

Уравнение $f(x) = a$ имеет ровно один корень, если горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $y=f(x)$ ровно в одной точке.
Из графика следует, что это возможно в двух случаях:
1. Прямая $y=a$ касается графика в точке локального минимума. Это происходит при $a = -2$.
2. Прямая $y=a$ проходит выше точки локального максимума (которая имеет ординату $1$). В этом случае прямая пересекает только левую ветвь графика, уходящую в $+\infty$. Это происходит при $a > 1$.
Объединяя эти два случая, получаем искомые значения.
Ответ: при $a = -2$ и при $a \in (1; +\infty)$.