Страница 316 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.1. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x-5}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$;

3) $f(x) = \frac{9}{x^2 - 5}$;

4) $f(x) = \frac{14}{x^2 + 4}$;

5) $f(x) = \frac{7x + 13}{x^2 - 7x}$;

6) $f(x) = \frac{x}{|x| - 3}$;

7) $f(x) = \frac{9}{|x| + 5}$;

8) $f(x) = \frac{13}{|x| + x^2}$;

9) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x}$;

10) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$;

11) $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$;

12) $f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}}$;

13) $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4}$;

14) $f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2-8x+7}$;

15) $f(x) = \sqrt{-x^2-8x+9}$;

16) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+6x-7}} + \frac{1}{x^2-2x}$;

17) $f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{2}{\sqrt{x^2-4x-12}}$;

18) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{15x-3x^2}} + \frac{x-5}{x^2-9}$;

1) $f(x) = \sqrt{x-5}$

Область определения функции, содержащей квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$x - 5 \ge 0$

$x \ge 5$

Следовательно, область определения — это промежуток $[5; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [5; +\infty)$.

2) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{4-x}}$

Выражение находится под знаком квадратного корня в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.

$4 - x > 0$

$x < 4$

Следовательно, область определения — это промежуток $(-\infty; 4)$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4)$.

3) $f(x) = \frac{9}{x^2 - 5}$

Область определения рациональной функции (дроби) находится из условия, что знаменатель не должен быть равен нулю.

$x^2 - 5 \neq 0$

$x^2 \neq 5$

$x \neq \sqrt{5}$ и $x \neq -\sqrt{5}$

Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

4) $f(x) = \frac{14}{x^2 + 4}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 + 4 \neq 0$

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

5) $f(x) = \frac{7x+13}{x^2 - 7x}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^2 - 7x \neq 0$

$x(x - 7) \neq 0$

Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq 7$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$.

6) $f(x) = \frac{x}{|x| - 3}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$|x| - 3 \neq 0$

$|x| \neq 3$

Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

7) $f(x) = \frac{9}{|x| + 5}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$|x| + 5 \neq 0$

Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 5 \ge 5$. Знаменатель никогда не равен нулю.

Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

8) $f(x) = \frac{13}{|x| + x^2}$

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$|x| + x^2 \neq 0$

Сумма $|x| + x^2$ равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю, то есть $|x|=0$ и $x^2=0$. Это происходит только при $x=0$.

Следовательно, $x \neq 0$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

9) $f(x) = \sqrt{x+5} + \sqrt{3-x}$

Функция является суммой двух корней. Область определения — это пересечение областей определения каждого слагаемого. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 3 \end{cases}$

Решением системы является промежуток $[-5; 3]$.

Ответ: $D(f) = [-5; 3]$.

10) $f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{x+3}{x-10}$

Область определения функции — это пересечение областей определения слагаемых.

1. Для $\sqrt{x-1}$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Для $\frac{x+3}{x-10}$: знаменатель не должен быть равен нулю: $x-10 \neq 0 \implies x \neq 10$.

Объединяя условия, получаем $x \ge 1$ и $x \neq 10$.

Ответ: $D(f) = [1; 10) \cup (10; +\infty)$.

11) $f(x) = \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}$

Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} x-2 \ge 0 \\ 2-x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 2 \end{cases}$

Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=2$.

Ответ: $D(f) = \{2\}$.

12) $f(x) = \sqrt{x-9} + \frac{6}{\sqrt{8-x}}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\sqrt{x-9}$: $x-9 \ge 0 \implies x \ge 9$.

2. Для $\frac{6}{\sqrt{8-x}}$: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $8-x > 0 \implies x < 8$.

Нужно найти пересечение условий $x \ge 9$ и $x < 8$. Таких чисел не существует.

Ответ: $D(f) = \emptyset$.

13) $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-7}{x^2-4}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\sqrt{x+2}$: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

2. Для $\frac{x-7}{x^2-4}$: $x^2-4 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Объединяя условия, получаем $x \ge -2$, но $x \neq -2$ и $x \neq 2$. Это эквивалентно $x > -2$ и $x \neq 2$.

Ответ: $D(f) = (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

14) $f(x) = \frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}} + \frac{5x-4}{x^2 - 8x + 7}$

Рассмотрим оба слагаемых.

1. Для $\frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}}$: $x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$ и $x+3 > 0 \implies x > -3$. Пересечение этих условий: $x \ge 6$.

2. Для $\frac{5x-4}{x^2 - 8x + 7}$: $x^2 - 8x + 7 \neq 0$. Корни уравнения $x^2-8x+7=0$ это $x=1$ и $x=7$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 7$.

Объединяем все условия: $x \ge 6$ и $x \neq 7$. Условие $x \neq 1$ уже включено в $x \ge 6$.

Ответ: $D(f) = [6; 7) \cup (7; +\infty)$.

15) $f(x) = \sqrt{-x^2 - 8x + 9}$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$-x^2 - 8x + 9 \ge 0$

$x^2 + 8x - 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$. $x_1 = -9$, $x_2 = 1$.

Парабола $y = x^2 + 8x - 9$ ветвями вверх, значит, неравенство $\le 0$ выполняется между корнями.

$-9 \le x \le 1$

Ответ: $D(f) = [-9; 1]$.

16) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2+6x-7}} + \frac{1}{x^2-2x}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\frac{1}{\sqrt{x^2+6x-7}}$: $x^2+6x-7 > 0$. Корни $x^2+6x-7=0$ это $x_1=-7, x_2=1$. Так как парабола ветвями вверх, $x^2+6x-7 > 0$ при $x < -7$ или $x > 1$.

2. Для $\frac{1}{x^2-2x}$: $x^2-2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Объединяем условия: $(x < -7 \text{ или } x > 1)$ и $(x \neq 0, x \neq 2)$. Условие $x \neq 0$ уже выполняется. Остается учесть $x \neq 2$ для промежутка $x>1$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -7) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

17) $f(x) = \sqrt{x-6} + \frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\sqrt{x-6}$: $x-6 \ge 0 \implies x \ge 6$.

2. Для $\frac{2}{\sqrt{x^2 - 4x - 12}}$: $x^2 - 4x - 12 > 0$. Корни $x^2 - 4x - 12 = 0$ это $x_1=-2, x_2=6$. Парабола ветвями вверх, значит $x^2 - 4x - 12 > 0$ при $x < -2$ или $x > 6$.

Пересечение условий $x \ge 6$ и $(x < -2 \text{ или } x > 6)$ дает $x > 6$.

Ответ: $D(f) = (6; +\infty)$.

18) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{15x-3x^2}} + \frac{x-5}{x^2-9}$

Должны выполняться два условия:

1. Для $\frac{6}{\sqrt{15x-3x^2}}$: $15x-3x^2 > 0 \implies 3x(5-x) > 0$. Корни $x=0, x=5$. Парабола ветвями вниз, значит $15x-3x^2>0$ при $0 < x < 5$.

2. Для $\frac{x-5}{x^2-9}$: $x^2-9 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Объединяем условия: $0 < x < 5$ и $x \neq 3, x \neq -3$. Условие $x \neq -3$ выполняется. Остается исключить $x=3$ из интервала $(0; 5)$.

Ответ: $D(f) = (0; 3) \cup (3; 5)$.

42.2. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x} + 1;$

2) $f(x) = \sqrt{x - 2};$

3) $g(x) = 3 - x^2;$

4) $f(x) = x^2 + 2;$

5) $\varphi(x) = 5 + |x|;$

6) $h(x) = \sqrt{x^2 + 4} - 5;$

7) $f(x) = \sqrt{-x^2};$

8) $f(x) = \sqrt{x - 3} - \sqrt{3 - x};$

9) $f(x) = \sqrt{1 - x^2};$

10) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.$

1) f(x) = √x + 1;

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x} + 1$ задается условием $x \ge 0$. Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно: $\sqrt{x} \ge 0$. Прибавляя 1 к обеим частям неравенства, получаем: $\sqrt{x} + 1 \ge 1$. Таким образом, $f(x) \ge 1$. Область значений функции — это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $E(f) = [1; +\infty)$.

2) f(x) = √x - 2;

Область определения функции $f(x) = \sqrt{x} - 2$ задается условием $x \ge 0$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то, вычитая 2 из обеих частей неравенства, получаем: $\sqrt{x} - 2 \ge -2$. Таким образом, $f(x) \ge -2$. Область значений функции — это все числа, большие или равные -2.
Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$.

3) g(x) = 3 - x²;

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$. Умножим это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$. Теперь прибавим 3 к обеим частям: $3 - x^2 \le 3$. Таким образом, $g(x) \le 3$. Область значений функции — это все числа, меньшие или равные 3.
Ответ: $E(g) = (-\infty; 3]$.

4) f(x) = x² + 2;

Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$. Прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем: $x^2 + 2 \ge 2$. Таким образом, $f(x) \ge 2$. Область значений функции — это все числа, большие или равные 2.
Ответ: $E(f) = [2; +\infty)$.

5) φ(x) = 5 + |x|;

Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$. Прибавляя 5 к обеим частям неравенства, получаем: $5 + |x| \ge 5$. Таким образом, $\varphi(x) \ge 5$. Область значений функции — это все числа, большие или равные 5.
Ответ: $E(\varphi) = [5; +\infty)$.

6) h(x) = √(x² + 4) - 5;

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 + 4$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $\sqrt{x^2 + 4} \ge \sqrt{4}$, то есть $\sqrt{x^2 + 4} \ge 2$. Теперь вычтем 5 из обеих частей: $\sqrt{x^2 + 4} - 5 \ge 2 - 5$. Таким образом, $h(x) \ge -3$. Область значений функции — это все числа, большие или равные -3.
Ответ: $E(h) = [-3; +\infty)$.

7) f(x) = √(-x²);

Функция определена, если подкоренное выражение неотрицательно: $-x^2 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-x^2 \le 0$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям ($-x^2 \ge 0$ и $-x^2 \le 0$), это $-x^2 = 0$, что возможно только при $x=0$. Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=0$. Найдем значение функции в этой точке: $f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$. Область значений состоит из одного числа.
Ответ: $E(f) = \{0\}$.

8) f(x) = √(x - 3) - √(3 - x);

Функция определена, если оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $ Решая ее, получаем: $ \begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 3 \end{cases} $ Единственное число, удовлетворяющее системе, это $x=3$. Область определения функции состоит из одной точки $x=3$. Найдем значение функции в этой точке: $f(3) = \sqrt{3-3} - \sqrt{3-3} = \sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$. Область значений состоит из одного числа.
Ответ: $E(f) = \{0\}$.

9) f(x) = √(1 - x²);

Функция определена при $1 - x^2 \ge 0$, то есть $x^2 \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$. Пусть $y = \sqrt{1 - x^2}$. По определению арифметического квадратного корня, $y \ge 0$. Возведем обе части в квадрат: $y^2 = 1 - x^2$, откуда $x^2 + y^2 = 1$. Это уравнение окружности с центром в (0, 0) и радиусом 1. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только верхнюю полуокружность. Наименьшее значение $y$ на этой полуокружности равно 0 (при $x = \pm 1$), а наибольшее равно 1 (при $x=0$).
Ответ: $E(f) = [0; 1]$.

10) f(x) = 1 / (x² + 1);

Рассмотрим знаменатель дроби: $x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Знаменатель всегда положителен и больше либо равен 1. Поскольку знаменатель $x^2+1 \ge 1$, то обратная величина будет удовлетворять неравенству $0 < \frac{1}{x^2+1} \le \frac{1}{1}$. Таким образом, $0 < f(x) \le 1$. Максимальное значение, равное 1, достигается при $x=0$. При $x \to \pm\infty$, значение функции стремится к 0, но никогда его не достигает.
Ответ: $E(f) = (0; 1]$.

42.3. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$;

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Сначала найдем область определения функции. Функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$. Таким образом, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $-2$. В виде интервала: $(-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

Далее упростим выражение для функции. Числитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Подставим это в исходную функцию: $f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$. При условии $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x+2)$. В результате получаем: $f(x) = x - 2$.

Это означает, что график нашей функции совпадает с графиком линейной функции $y = x - 2$ во всех точках, кроме точки с абсциссой $x = -2$. В этой точке на графике будет разрыв, который изображается как "выколотая" точка. Чтобы найти координаты этой точки, подставим $x = -2$ в упрощенное выражение $y = x - 2$: $y = -2 - 2 = -4$. Следовательно, выколотая точка имеет координаты $(-2; -4)$. График функции — это прямая, проходящая, например, через точки $(0; -2)$ и $(2; 0)$, с выколотой точкой $(-2; -4)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. График функции – прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2; -4)$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 9}{3 - x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю: $3 - x \neq 0$, откуда $x \neq 3$. Область определения $D(f)$: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Упростим выражение. Числитель $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом разности: $(x - 3)^2$. Знаменатель можно представить как $-(x - 3)$. $f(x) = \frac{(x-3)^2}{-(x-3)}$. При условии $x \neq 3$ сокращаем дробь на $(x - 3)$: $f(x) = \frac{x-3}{-1} = -(x-3) = -x + 3$.

График функции совпадает с графиком прямой $y = -x + 3$ за исключением точки, где $x=3$. Найдем координаты выколотой точки, подставив $x = 3$ в упрощенное уравнение: $y = -3 + 3 = 0$. Выколотая точка имеет координаты $(3; 0)$. Для построения прямой $y = -x + 3$ найдем две точки: если $x=0$, то $y=3$ (точка $(0; 3)$); если $y=0$, то $x=3$ (точка $(3; 0)$). График — это прямая, проходящая через точку $(0; 3)$ и имеющая выколотую точку в месте пересечения с осью абсцисс $(3; 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. График функции – прямая $y = -x + 3$ с выколотой точкой $(3; 0)$.

3) $f(x) = \frac{4x - 20}{x^2 - 5x}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 5x \neq 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 5) \neq 0$. Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Область определения $D(f)$: $(-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе: $f(x) = \frac{4(x - 5)}{x(x - 5)}$. При $x \neq 5$ (и $x \neq 0$) сокращаем дробь на $(x - 5)$: $f(x) = \frac{4}{x}$.

Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$. Из-за ограничений в области определения на графике будут разрывы. При $x = 0$ функция не определена, что для гиперболы $y=\frac{4}{x}$ означает наличие вертикальной асимптоты $x=0$. При $x = 5$ на графике будет выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x=5$ в упрощенное выражение: $y = \frac{4}{5} = 0.8$. Выколотая точка — $(5; 0.8)$. График — это гипербола $y = \frac{4}{x}$ с ветвями в I и III координатных четвертях и с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(5; 0.8)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$

Найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 - 1 \neq 0$. $(x - 1)(x + 1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Область определения $D(f)$: $(-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

Упростим выражение. Так как числитель и знаменатель одинаковы и не равны нулю в области определения, их частное равно 1: $f(x) = 1$ при $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$. Из-за ограничений области определения на этой прямой будут две выколотые точки, соответствующие значениям $x = -1$ и $x = 1$. Координаты этих точек: При $x = -1$, $y = 1 \Rightarrow (-1; 1)$. При $x = 1$, $y = 1 \Rightarrow (1; 1)$. График — это горизонтальная прямая $y=1$ с двумя выколотыми точками: $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции – прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.