Страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.29. Упростите выражение:

1) $ \left( \frac{81a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}}{16c^{-\frac{4}{3}}} \right)^{-\frac{3}{4}} $;

2) $ \left( \frac{125a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{64c^{-\frac{1}{2}}} \right)^{-\frac{4}{3}} $;

3) $ \left( \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} \right)^{-6} $;

4) $ \left( \frac{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}} \right)^{-4} $.

1) Упростим выражение $ \left(\frac{81a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}{16c^{-\frac{4}{3}}}\right)^{-\frac{3}{4}} $.

Сначала воспользуемся свойством степени $ (x/y)^{-n} = (y/x)^n $, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени, перевернув дробь:

$ \left(\frac{16c^{-\frac{4}{3}}}{81a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}}\right)^{\frac{3}{4}} $

Далее, переместим множитель $ c^{-\frac{4}{3}} $ из числителя в знаменатель, изменив знак его показателя на противоположный (свойство $ x^{-n} = 1/x^n $):

$ \left(\frac{16}{81a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{4}{3}}}\right)^{\frac{3}{4}} $

Теперь возведем каждый множитель в дроби в степень $ \frac{3}{4} $, используя свойство $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:

$ \frac{16^{\frac{3}{4}}}{81^{\frac{3}{4}} \cdot (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} \cdot (b^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}} \cdot (c^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}}} $

Вычислим значения для каждого множителя:

• $ 16^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8 $
• $ 81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 $
• $ (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = a^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} = a^{\frac{6}{12}} = a^{\frac{1}{2}} $
• $ (b^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{4}} = b^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}} = b^{\frac{3}{12}} = b^{\frac{1}{4}} $
• $ (c^{\frac{4}{3}})^{\frac{3}{4}} = c^{\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}} = c^1 = c $

Подставим вычисленные значения обратно в выражение:

$ \frac{8}{27a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}c} $

Ответ: $ \frac{8}{27a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}c} $

2) Упростим выражение $ \left(\frac{125a^{-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{64c^{-\frac{1}{2}}}\right)^{-\frac{4}{3}} $.

Избавимся от отрицательной внешней степени, перевернув дробь:

$ \left(\frac{64c^{-\frac{1}{2}}}{125a^{-\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}} $

Переместим множители с отрицательными степенями: $ c^{-\frac{1}{2}} $ в знаменатель, а $ a^{-\frac{3}{2}} $ и $ b^{-\frac{3}{2}} $ в числитель:

$ \left(\frac{64a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{3}{2}}}{125c^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{4}{3}} $

Возведем каждый множитель в степень $ \frac{4}{3} $:

$ \frac{64^{\frac{4}{3}} \cdot (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} \cdot (b^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}}{125^{\frac{4}{3}} \cdot (c^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{3}}} $

Вычислим значения:

• $ 64^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{64})^4 = 4^4 = 256 $
• $ 125^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{125})^4 = 5^4 = 625 $
• $ (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = a^2 $
• $ (b^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} = b^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = b^2 $
• $ (c^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{3}} = c^{\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}} $

Соберем все вместе:

$ \frac{256a^2b^2}{625c^{\frac{2}{3}}} $

Ответ: $ \frac{256a^2b^2}{625c^{\frac{2}{3}}} $

3) Упростим выражение $ \left(\frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}}\right)^{-6} $.

Сначала упростим выражение в скобках. В числителе вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наименьшие степени $ a $ и $ b $. Это $ a^{\frac{1}{3}} $ и $ b^{\frac{1}{3}} $. Вынесем $ a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $ за скобки:

$ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} (a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}}b^0 + a^0b^{\frac{1}{6}}) = a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) $

Подставим это обратно в дробь:

$ \frac{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} $

Сократим дробь на $ (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) $ (при условии, что $ a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}} \neq 0 $). Получим:

$ a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} $

Теперь возведем это выражение в степень -6:

$ (a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}})^{-6} = (a^{\frac{1}{3}})^{-6} \cdot (b^{\frac{1}{3}})^{-6} = a^{-\frac{6}{3}}b^{-\frac{6}{3}} = a^{-2}b^{-2} $

Запишем результат с положительными показателями:

$ \frac{1}{a^2b^2} $

Ответ: $ \frac{1}{a^2b^2} $

4) Упростим выражение $ \left(\frac{a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}}}\right)^{-4} $.

Упростим дробь в скобках. Разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $ a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{2}} $ вынесем за скобки общий множитель $ b^{\frac{1}{4}} $: $ b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) $.

В знаменателе $ a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{4}}b^{\frac{1}{4}} $ вынесем за скобки общий множитель $ a^{\frac{1}{4}} $: $ a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) $.

Подставим разложенные выражения в дробь:

$ \frac{b^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}})} $

Сократим дробь на $ (a^{\frac{1}{4}} - b^{\frac{1}{4}}) $ (при условии, что $ a^{\frac{1}{4}} \neq b^{\frac{1}{4}} $). Получим:

$ \frac{b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} $

Теперь возведем это выражение в степень -4:

$ \left(\frac{b^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}}\right)^{-4} = \left(\frac{a^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{4}}}\right)^{4} = \frac{(a^{\frac{1}{4}})^4}{(b^{\frac{1}{4}})^4} = \frac{a}{b} $

Ответ: $ \frac{a}{b} $

42.30. Докажите тождество:

1) $\left( \frac{m - n}{m^{\frac{3}{4}} + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{4}}} - \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}} \right) \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}};$

2) $\frac{a + b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}};$

3) $\left( \frac{9}{a + 8} - \frac{a^{\frac{1}{3}} + 2}{a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 4} \right) \cdot \frac{a^{\frac{4}{3}} + 8a^{\frac{1}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 - a^{\frac{2}{3}}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} = 5;$

4) $\left( \frac{m^{\frac{3}{4}} - n}{m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{3}}} - 3\sqrt[12]{m^3n^4} \right) : \left( \frac{m^{\frac{3}{4}} + n}{m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{3}}} - n^{\frac{2}{3}} \right)^2 = \frac{1}{m^{\frac{1}{2}}};$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сделаем замену переменных для упрощения выражения. Пусть $x = m^{1/4}$ и $y = n^{1/4}$. Тогда $m = x^4, n = y^4, m^{3/4} = x^3, m^{1/2} = x^2, n^{1/2} = y^2$.

Левая часть тождества примет вид:

$\left(\frac{m-n}{m^{3/4} + m^{1/2}n^{1/4}} - \frac{m^{1/2} - n^{1/2}}{m^{1/4} + n^{1/4}}\right)\left(\frac{n}{m}\right)^{-1/2} = \left(\frac{x^4-y^4}{x^3 + x^2y} - \frac{x^2 - y^2}{x + y}\right)\left(\frac{y^4}{x^4}\right)^{-1/2}$

Упростим поочередно части выражения в скобках. Первый член:

$\frac{x^4-y^4}{x^3 + x^2y} = \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{x^2(x+y)} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{x^2(x+y)} = \frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2}$

Второй член:

$\frac{x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x+y} = x-y$

Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2} - (x-y) = (x-y)\left(\frac{x^2+y^2}{x^2} - 1\right) = (x-y)\left(\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2}\right) = (x-y)\frac{y^2}{x^2}$

Упростим второй множитель исходного выражения:

$\left(\frac{n}{m}\right)^{-1/2} = \left(\frac{m}{n}\right)^{1/2} = \frac{m^{1/2}}{n^{1/2}} = \frac{x^2}{y^2}$

Перемножим полученные результаты:

$\left((x-y)\frac{y^2}{x^2}\right) \cdot \frac{x^2}{y^2} = x-y$

Выполним обратную замену:

$x-y = m^{1/4} - n^{1/4}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Введем замены: $x = a^{1/3}$ и $y = b^{1/3}$. Тогда $a = x^3, b = y^3, a^{2/3} = x^2, b^{2/3} = y^2$.

Левая часть примет вид:

$\frac{a+b}{a^{2/3} - a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}} - \frac{a-b}{a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}} - \frac{a^{2/3}-b^{2/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}} = \frac{x^3+y^3}{x^2 - xy + y^2} - \frac{x^3-y^3}{x^2 + xy + y^2} - \frac{x^2-y^2}{x-y}$

Упростим каждое слагаемое, применяя формулы сокращенного умножения:

$\frac{x^3+y^3}{x^2 - xy + y^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2-xy+y^2} = x+y$ (формула суммы кубов)

$\frac{x^3-y^3}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2} = x-y$ (формула разности кубов)

$\frac{x^2-y^2}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y$ (формула разности квадратов)

Подставим упрощенные выражения обратно:

$(x+y) - (x-y) - (x+y) = x+y-x+y-x-y = y-x$

Сделаем обратную замену:

$y-x = b^{1/3} - a^{1/3}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Введем замену: $x = a^{1/3}$. Тогда $a = x^3, a^{2/3} = x^2, a^{4/3} = x^4$.

Левая часть примет вид:

$\left(\frac{9}{a+8} - \frac{a^{1/3}+2}{a^{2/3}-2a^{1/3}+4}\right) \cdot \frac{a^{4/3}+8a^{1/3}}{1-a^{2/3}} + \frac{5-a^{2/3}}{1+a^{1/3}} = \left(\frac{9}{x^3+8} - \frac{x+2}{x^2-2x+4}\right) \cdot \frac{x^4+8x}{1-x^2} + \frac{5-x^2}{1+x}$

Сначала упростим выражение в скобках, используя формулу суммы кубов $x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$:

$\frac{9}{(x+2)(x^2-2x+4)} - \frac{x+2}{x^2-2x+4} = \frac{9-(x+2)^2}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{9-(x^2+4x+4)}{x^3+8} = \frac{5-4x-x^2}{x^3+8} = \frac{-(x^2+4x-5)}{x^3+8} = \frac{-(x+5)(x-1)}{x^3+8}$

Упростим второй множитель:

$\frac{x^4+8x}{1-x^2} = \frac{x(x^3+8)}{(1-x)(1+x)}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{-(x+5)(x-1)}{x^3+8} \cdot \frac{x(x^3+8)}{(1-x)(1+x)} = \frac{(x+5)(1-x)}{x^3+8} \cdot \frac{x(x^3+8)}{(1-x)(1+x)} = \frac{(x+5)x}{1+x} = \frac{x^2+5x}{1+x}$

Добавим оставшееся слагаемое:

$\frac{x^2+5x}{1+x} + \frac{5-x^2}{1+x} = \frac{x^2+5x+5-x^2}{1+x} = \frac{5x+5}{1+x} = \frac{5(x+1)}{1+x} = 5$

Левая часть тождества равна 5. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим корень: $\sqrt[12]{m^3n^4} = (m^3n^4)^{1/12} = m^{3/12}n^{4/12} = m^{1/4}n^{1/3}$.

Введем замены: $x = m^{1/4}$ и $y = n^{1/3}$. Тогда $m^{3/4} = x^3, n = y^3, n^{2/3} = y^2$ и $m^{1/2} = (m^{1/4})^2 = x^2$.

Левая часть примет вид:

$\left(\frac{m^{3/4}-n}{m^{1/4}-n^{1/3}} - 3\sqrt[12]{m^3n^4}\right) : \left(\frac{m^{3/4}+n}{m^{1/4}+n^{1/3}} - n^{2/3}\right)^2 = \left(\frac{x^3-y^3}{x-y} - 3xy\right) : \left(\frac{x^3+y^3}{x+y} - y^2\right)^2$

Упростим выражение в первых скобках (делимое), используя формулу разности кубов:

$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y} - 3xy = (x^2+xy+y^2) - 3xy = x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$

Упростим выражение во вторых скобках (основание степени делителя), используя формулу суммы кубов:

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x+y} - y^2 = (x^2-xy+y^2) - y^2 = x^2-xy = x(x-y)$

Возведем полученное выражение в квадрат, чтобы получить делитель:

$(x(x-y))^2 = x^2(x-y)^2$

Теперь выполним деление:

$\frac{(x-y)^2}{x^2(x-y)^2} = \frac{1}{x^2}$

Сделаем обратную замену:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(m^{1/4})^2} = \frac{1}{m^{2/4}} = \frac{1}{m^{1/2}}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

42.31. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4x+20} = x+2$;

2) $\sqrt{6-x} = 3x-4$;

3) $\sqrt{4+2x-x^2} = x-2$;

4) $\sqrt{2x^2-14x+13} = 5-x$;

5) $\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}} = x-1$;

6) $\sqrt{x+11} - \sqrt{3x+7} = 2$;

7) $\sqrt{1-2x}-3 = \sqrt{16+x}$;

8) $\sqrt{3-x} + \sqrt{x-2} = 1$;

9) $\sqrt{2x+5} + \sqrt{3-x} = 4$.

1) $\sqrt{4x + 20} = x + 2$

Для решения иррационального уравнения возведем обе части в квадрат. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4x + 20 \ge 0$, что дает $4x \ge -20$, то есть $x \ge -5$.
Во-вторых, правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -2$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:$(\sqrt{4x + 20})^2 = (x + 2)^2$$4x + 20 = x^2 + 4x + 4$

Переносим все члены в одну сторону:$x^2 + 4x - 4x + 4 - 20 = 0$$x^2 - 16 = 0$$(x - 4)(x + 4) = 0$Получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2$):
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge -2$).
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 < -2$), поэтому является посторонним.

Ответ: 4.

2) $\sqrt{6 - x} = 3x - 4$

Определим ОДЗ:
1. $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.
2. $3x - 4 \ge 0 \implies 3x \ge 4 \implies x \ge \frac{4}{3}$.
ОДЗ: $\frac{4}{3} \le x \le 6$.

Возводим обе части в квадрат:$(\sqrt{6 - x})^2 = (3x - 4)^2$$6 - x = 9x^2 - 24x + 16$$9x^2 - 23x + 10 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:$D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 529 - 360 = 169 = 13^2$$x_1 = \frac{23 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$$x_2 = \frac{23 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Проверяем корни по ОДЗ ($\frac{4}{3} \le x \le 6$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($\frac{4}{3} \approx 1.33$, поэтому $1.33 \le 2 \le 6$).
Корень $x_2 = \frac{5}{9}$ не удовлетворяет условию ($\frac{5}{9} < \frac{4}{3}$), является посторонним.

Ответ: 2.

3) $\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2$

ОДЗ:
1. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
2. $4 + 2x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 2x - 4 \le 0$. Найдем корни $x^2 - 2x - 4 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$. Значит, $1 - \sqrt{5} \le x \le 1 + \sqrt{5}$.
Общее ОДЗ: $2 \le x \le 1 + \sqrt{5}$ (так как $1+\sqrt{5} \approx 3.24$).

Возводим в квадрат:$4 + 2x - x^2 = (x - 2)^2$$4 + 2x - x^2 = x^2 - 4x + 4$$2x^2 - 6x = 0$$2x(x - 3) = 0$Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Проверяем по ОДЗ ($2 \le x \le 1 + \sqrt{5}$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($2 \le 3 \le 1 + \sqrt{5}$).

Ответ: 3.

4) $\sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x$

ОДЗ:
1. $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.
2. $2x^2 - 14x + 13 \ge 0$. Корни $2x^2 - 14x + 13 = 0$: $x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 104}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{23}}{2}$. Неравенство выполняется при $x \le \frac{7 - \sqrt{23}}{2}$ или $x \ge \frac{7 + \sqrt{23}}{2}$.
Общее ОДЗ: $x \le \frac{7 - \sqrt{23}}{2}$ (так как $\frac{7 + \sqrt{23}}{2} \approx 5.9 > 5$).

Возводим в квадрат:$2x^2 - 14x + 13 = (5 - x)^2$$2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2$$x^2 - 4x - 12 = 0$По теореме Виета корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -2$.

Проверяем по ОДЗ ($x \le \frac{7 - \sqrt{23}}{2} \approx 1.1$):
$x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ ($-2 \le 1.1$).

Ответ: -2.

5) $\sqrt{1 - \sqrt{x^4 - x^2}} = x - 1$

ОДЗ:
1. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. $x^4 - x^2 \ge 0 \implies x^2(x^2-1) \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies x \ge 1$ или $x \le -1$. Вместе с п.1 получаем $x \ge 1$.
3. $1 - \sqrt{x^4 - x^2} \ge 0 \implies 1 \ge \sqrt{x^4 - x^2} \implies 1 \ge x^4 - x^2$. Пусть $y = x^2$. Тогда $y^2 - y - 1 \le 0$. Корни $y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так как $y \ge 0$, то $0 \le y \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Значит $0 \le x^2 \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, что вместе с $x \ge 1$ дает ОДЗ: $1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

Возводим в квадрат:$1 - \sqrt{x^4 - x^2} = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$$-\sqrt{x^4 - x^2} = x^2 - 2x$$\sqrt{x^4 - x^2} = 2x - x^2$Для второго возведения в квадрат нужно условие $2x - x^2 \ge 0 \implies x(2-x) \ge 0 \implies 0 \le x \le 2$. Это условие не сужает ОДЗ.
Возводим в квадрат еще раз:$x^4 - x^2 = (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4$$4x^3 - 5x^2 = 0$$x^2(4x - 5) = 0$Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{5}{4}$.

Проверяем по ОДЗ ($1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \approx 1.27$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{5}{4} = 1.25$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

6) $\sqrt{x + 11} - \sqrt{3x + 7} = 2$

ОДЗ:
1. $x + 11 \ge 0 \implies x \ge -11$.
2. $3x + 7 \ge 0 \implies x \ge -\frac{7}{3}$.
Общее ОДЗ: $x \ge -\frac{7}{3}$.

Уединим один из корней и возведем в квадрат:$\sqrt{x + 11} = 2 + \sqrt{3x + 7}$$(\sqrt{x + 11})^2 = (2 + \sqrt{3x + 7})^2$$x + 11 = 4 + 4\sqrt{3x + 7} + (3x + 7)$$x + 11 = 3x + 11 + 4\sqrt{3x + 7}$$-2x = 4\sqrt{3x + 7}$$-x = 2\sqrt{3x + 7}$Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть такой же: $-x \ge 0 \implies x \le 0$. С учетом ОДЗ получаем $-\frac{7}{3} \le x \le 0$.
Возведем в квадрат еще раз:$(-x)^2 = (2\sqrt{3x + 7})^2$$x^2 = 4(3x + 7)$$x^2 = 12x + 28$$x^2 - 12x - 28 = 0$По теореме Виета корни: $x_1 = 14$, $x_2 = -2$.

Проверяем по условию $-\frac{7}{3} \le x \le 0$:
$x_1 = 14$ не удовлетворяет.
$x_2 = -2$ удовлетворяет.

Ответ: -2.

7) $\sqrt{1 - 2x} - 3 = \sqrt{16 + x}$

ОДЗ:
1. $1 - 2x \ge 0 \implies x \le \frac{1}{2}$.
2. $16 + x \ge 0 \implies x \ge -16$.
Общее ОДЗ: $-16 \le x \le \frac{1}{2}$.
Также, $\sqrt{1 - 2x} - 3 \ge 0 \implies \sqrt{1 - 2x} \ge 3 \implies 1 - 2x \ge 9 \implies -8 \ge 2x \implies x \le -4$.Итоговое ОДЗ для решения: $-16 \le x \le -4$.

Перенесем -3 вправо и возведем в квадрат:$\sqrt{1 - 2x} = \sqrt{16 + x} + 3$$1 - 2x = (16 + x) + 6\sqrt{16 + x} + 9$$1 - 2x = x + 25 + 6\sqrt{16 + x}$$-3x - 24 = 6\sqrt{16 + x}$$-x - 8 = 2\sqrt{16 + x}$Условие $-x - 8 \ge 0 \implies x \le -8$ не сужает ОДЗ.
Возводим в квадрат:$(-x - 8)^2 = (2\sqrt{16 + x})^2$$x^2 + 16x + 64 = 4(16 + x)$$x^2 + 16x + 64 = 64 + 4x$$x^2 + 12x = 0$$x(x + 12) = 0$Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -12$.

Проверяем по ОДЗ ($-16 \le x \le -4$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет.
$x_2 = -12$ удовлетворяет.

Ответ: -12.

8) $\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 2} = 1$

ОДЗ:
1. $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.
2. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Общее ОДЗ: $2 \le x \le 3$.

Возведем в квадрат:$(\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 2})^2 = 1^2$$(3 - x) + 2\sqrt{(3-x)(x-2)} + (x - 2) = 1$$1 + 2\sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 1$$2\sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 0$$\sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 0$$-x^2 + 5x - 6 = 0$$x^2 - 5x + 6 = 0$По теореме Виета корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($[2, 3]$). Проверим подстановкой:
При $x=2$: $\sqrt{3-2} + \sqrt{2-2} = \sqrt{1} + 0 = 1$. Верно.
При $x=3$: $\sqrt{3-3} + \sqrt{3-2} = 0 + \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: 2; 3.

9) $\sqrt{2x + 5} + \sqrt{3 - x} = 4$

ОДЗ:
1. $2x + 5 \ge 0 \implies x \ge -2.5$.
2. $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.
Общее ОДЗ: $-2.5 \le x \le 3$.

Уединим один корень и возведем в квадрат:$\sqrt{2x + 5} = 4 - \sqrt{3 - x}$$2x + 5 = (4 - \sqrt{3 - x})^2$$2x + 5 = 16 - 8\sqrt{3 - x} + (3 - x)$$2x + 5 = 19 - x - 8\sqrt{3 - x}$$3x - 14 = -8\sqrt{3 - x}$$14 - 3x = 8\sqrt{3 - x}$Условие $14 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 14 \implies x \le \frac{14}{3} \approx 4.67$. ОДЗ не меняется.
Возводим в квадрат:$(14 - 3x)^2 = (8\sqrt{3 - x})^2$$196 - 84x + 9x^2 = 64(3 - x)$$196 - 84x + 9x^2 = 192 - 64x$$9x^2 - 20x + 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение:$D = (-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 - 144 = 256 = 16^2$$x_1 = \frac{20 + 16}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$$x_2 = \frac{20 - 16}{2 \cdot 9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

Оба корня $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{2}{9}$ принадлежат ОДЗ ($-2.5 \le x \le 3$). Проверкой убеждаемся, что оба являются решениями.

Ответ: $\frac{2}{9}$; 2.