Номер 42.30, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.30. Докажите тождество:

1) $\left( \frac{m - n}{m^{\frac{3}{4}} + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{4}}} - \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{4}}} \right) \left( \frac{n}{m} \right)^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{4}};$

2) $\frac{a + b}{a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} = b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{3}};$

3) $\left( \frac{9}{a + 8} - \frac{a^{\frac{1}{3}} + 2}{a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}} + 4} \right) \cdot \frac{a^{\frac{4}{3}} + 8a^{\frac{1}{3}}}{1 - a^{\frac{2}{3}}} + \frac{5 - a^{\frac{2}{3}}}{1 + a^{\frac{1}{3}}} = 5;$

4) $\left( \frac{m^{\frac{3}{4}} - n}{m^{\frac{1}{4}} - n^{\frac{1}{3}}} - 3\sqrt[12]{m^3n^4} \right) : \left( \frac{m^{\frac{3}{4}} + n}{m^{\frac{1}{4}} + n^{\frac{1}{3}}} - n^{\frac{2}{3}} \right)^2 = \frac{1}{m^{\frac{1}{2}}};$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сделаем замену переменных для упрощения выражения. Пусть $x = m^{1/4}$ и $y = n^{1/4}$. Тогда $m = x^4, n = y^4, m^{3/4} = x^3, m^{1/2} = x^2, n^{1/2} = y^2$.

Левая часть тождества примет вид:

$\left(\frac{m-n}{m^{3/4} + m^{1/2}n^{1/4}} - \frac{m^{1/2} - n^{1/2}}{m^{1/4} + n^{1/4}}\right)\left(\frac{n}{m}\right)^{-1/2} = \left(\frac{x^4-y^4}{x^3 + x^2y} - \frac{x^2 - y^2}{x + y}\right)\left(\frac{y^4}{x^4}\right)^{-1/2}$

Упростим поочередно части выражения в скобках. Первый член:

$\frac{x^4-y^4}{x^3 + x^2y} = \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)}{x^2(x+y)} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{x^2(x+y)} = \frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2}$

Второй член:

$\frac{x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x+y} = x-y$

Теперь выполним вычитание в скобках:

$\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2} - (x-y) = (x-y)\left(\frac{x^2+y^2}{x^2} - 1\right) = (x-y)\left(\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2}\right) = (x-y)\frac{y^2}{x^2}$

Упростим второй множитель исходного выражения:

$\left(\frac{n}{m}\right)^{-1/2} = \left(\frac{m}{n}\right)^{1/2} = \frac{m^{1/2}}{n^{1/2}} = \frac{x^2}{y^2}$

Перемножим полученные результаты:

$\left((x-y)\frac{y^2}{x^2}\right) \cdot \frac{x^2}{y^2} = x-y$

Выполним обратную замену:

$x-y = m^{1/4} - n^{1/4}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Введем замены: $x = a^{1/3}$ и $y = b^{1/3}$. Тогда $a = x^3, b = y^3, a^{2/3} = x^2, b^{2/3} = y^2$.

Левая часть примет вид:

$\frac{a+b}{a^{2/3} - a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}} - \frac{a-b}{a^{2/3} + a^{1/3}b^{1/3} + b^{2/3}} - \frac{a^{2/3}-b^{2/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}} = \frac{x^3+y^3}{x^2 - xy + y^2} - \frac{x^3-y^3}{x^2 + xy + y^2} - \frac{x^2-y^2}{x-y}$

Упростим каждое слагаемое, применяя формулы сокращенного умножения:

$\frac{x^3+y^3}{x^2 - xy + y^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2-xy+y^2} = x+y$ (формула суммы кубов)

$\frac{x^3-y^3}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2} = x-y$ (формула разности кубов)

$\frac{x^2-y^2}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{x-y} = x+y$ (формула разности квадратов)

Подставим упрощенные выражения обратно:

$(x+y) - (x-y) - (x+y) = x+y-x+y-x-y = y-x$

Сделаем обратную замену:

$y-x = b^{1/3} - a^{1/3}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Введем замену: $x = a^{1/3}$. Тогда $a = x^3, a^{2/3} = x^2, a^{4/3} = x^4$.

Левая часть примет вид:

$\left(\frac{9}{a+8} - \frac{a^{1/3}+2}{a^{2/3}-2a^{1/3}+4}\right) \cdot \frac{a^{4/3}+8a^{1/3}}{1-a^{2/3}} + \frac{5-a^{2/3}}{1+a^{1/3}} = \left(\frac{9}{x^3+8} - \frac{x+2}{x^2-2x+4}\right) \cdot \frac{x^4+8x}{1-x^2} + \frac{5-x^2}{1+x}$

Сначала упростим выражение в скобках, используя формулу суммы кубов $x^3+8 = (x+2)(x^2-2x+4)$:

$\frac{9}{(x+2)(x^2-2x+4)} - \frac{x+2}{x^2-2x+4} = \frac{9-(x+2)^2}{(x+2)(x^2-2x+4)} = \frac{9-(x^2+4x+4)}{x^3+8} = \frac{5-4x-x^2}{x^3+8} = \frac{-(x^2+4x-5)}{x^3+8} = \frac{-(x+5)(x-1)}{x^3+8}$

Упростим второй множитель:

$\frac{x^4+8x}{1-x^2} = \frac{x(x^3+8)}{(1-x)(1+x)}$

Теперь выполним умножение:

$\frac{-(x+5)(x-1)}{x^3+8} \cdot \frac{x(x^3+8)}{(1-x)(1+x)} = \frac{(x+5)(1-x)}{x^3+8} \cdot \frac{x(x^3+8)}{(1-x)(1+x)} = \frac{(x+5)x}{1+x} = \frac{x^2+5x}{1+x}$

Добавим оставшееся слагаемое:

$\frac{x^2+5x}{1+x} + \frac{5-x^2}{1+x} = \frac{x^2+5x+5-x^2}{1+x} = \frac{5x+5}{1+x} = \frac{5(x+1)}{1+x} = 5$

Левая часть тождества равна 5. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим корень: $\sqrt[12]{m^3n^4} = (m^3n^4)^{1/12} = m^{3/12}n^{4/12} = m^{1/4}n^{1/3}$.

Введем замены: $x = m^{1/4}$ и $y = n^{1/3}$. Тогда $m^{3/4} = x^3, n = y^3, n^{2/3} = y^2$ и $m^{1/2} = (m^{1/4})^2 = x^2$.

Левая часть примет вид:

$\left(\frac{m^{3/4}-n}{m^{1/4}-n^{1/3}} - 3\sqrt[12]{m^3n^4}\right) : \left(\frac{m^{3/4}+n}{m^{1/4}+n^{1/3}} - n^{2/3}\right)^2 = \left(\frac{x^3-y^3}{x-y} - 3xy\right) : \left(\frac{x^3+y^3}{x+y} - y^2\right)^2$

Упростим выражение в первых скобках (делимое), используя формулу разности кубов:

$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y} - 3xy = (x^2+xy+y^2) - 3xy = x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2$

Упростим выражение во вторых скобках (основание степени делителя), используя формулу суммы кубов:

$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x+y} - y^2 = (x^2-xy+y^2) - y^2 = x^2-xy = x(x-y)$

Возведем полученное выражение в квадрат, чтобы получить делитель:

$(x(x-y))^2 = x^2(x-y)^2$

Теперь выполним деление:

$\frac{(x-y)^2}{x^2(x-y)^2} = \frac{1}{x^2}$

Сделаем обратную замену:

$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{(m^{1/4})^2} = \frac{1}{m^{2/4}} = \frac{1}{m^{1/2}}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.