Номер 42.37, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.37. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + 2$;

2) $y = \cos x - 1$;

3) $y = \sin 3x$;

4) $y = \cos \frac{x}{2}$;

5) $y = -\frac{1}{2} \sin x$;

6) $y = 1,5 \cos x$.

1) $y = \sin x + 2$;

Для построения графика функции $y = \sin x + 2$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Сначала строим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая проходит через начало координат, имеет период $T=2\pi$ и амплитуду $A=1$. Её значения лежат в пределах от $-1$ до $1$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Затем выполняем параллельный перенос (сдвиг) построенного графика вдоль оси ординат (оси OY) на 2 единицы вверх. Это преобразование соответствует прибавлению константы 2 к значению функции.
В результате каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на 2 единицы вверх.
Новые ключевые точки: $(0, 0+2)=(0, 2)$, $(\frac{\pi}{2}, 1+2)=(\frac{\pi}{2}, 3)$, $(\pi, 0+2)=(\pi, 2)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1+2)=(\frac{3\pi}{2}, 1)$, $(2\pi, 0+2)=(2\pi, 2)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1+2, 1+2] = [1, 3]$. Период и амплитуда останутся прежними.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

2) $y = \cos x - 1$;

Для построения графика функции $y = \cos x - 1$ используется преобразование графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Сначала строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$ и амплитудой $A=1$. Её значения лежат в пределах от $-1$ до $1$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.
2. Затем выполняем параллельный перенос графика вдоль оси ординат (оси OY) на 1 единицу вниз. Это преобразование соответствует вычитанию константы 1 из значения функции.
Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на 1 единицу вниз.
Новые ключевые точки: $(0, 1-1)=(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 0-1)=(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\pi, -1-1)=(\pi, -2)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0-1)=(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 1-1)=(2\pi, 0)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-1, 1-1] = [-2, 0]$. Период и амплитуда останутся прежними.

Ответ: График функции $y = \cos x - 1$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

3) $y = \sin 3x$;

Для построения графика функции $y = \sin 3x$ используется преобразование графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Строим график функции $y = \sin x$ с периодом $T=2\pi$.
2. Выполняем сжатие графика к оси ординат (оси OY) в 3 раза. Множитель 3 при аргументе $x$ изменяет период функции. Новый период $T_1$ вычисляется по формуле $T_1 = \frac{T}{|k|}$, где $T$ - период исходной функции, а $k$ - коэффициент при $x$.
В нашем случае $k=3$, поэтому новый период $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.
Это означает, что на отрезке $[0, 2\pi]$ теперь укладывается три полных волны синусоиды вместо одной. Амплитуда и область значений $[-1, 1]$ не изменяются.
Ключевые точки (нули, максимумы, минимумы) теперь располагаются в 3 раза ближе к оси OY. Например, первый максимум будет в точке $x = \frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6}$, а конец первого периода в $x = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y = \sin 3x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия его в 3 раза вдоль оси OX. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$.

4) $y = \cos \frac{x}{2}$;

Для построения графика функции $y = \cos \frac{x}{2}$ используется преобразование графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Строим график функции $y = \cos x$ с периодом $T=2\pi$.
2. Выполняем растяжение графика от оси ординат (оси OY). Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Новый период $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Это означает, что график "растягивается" в 2 раза вдоль оси абсцисс. Амплитуда и область значений $[-1, 1]$ не изменяются.
Ключевые точки теперь располагаются в 2 раза дальше от оси OY. Например, первый ноль будет в точке $x = \frac{\pi}{2} \cdot 2 = \pi$, первый минимум в $x = \pi \cdot 2 = 2\pi$, а конец первого периода в $x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения его в 2 раза вдоль оси OX. Период функции равен $4\pi$.

5) $y = -\frac{1}{2}\sin x$;

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ используется два преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Сначала строим график функции $y = \sin x$.
2. Выполняем сжатие графика к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза. Это соответствует умножению функции на коэффициент $\frac{1}{2}$. Амплитуда уменьшается с 1 до $\frac{1}{2}$. Область значений становится $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. График промежуточной функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ колеблется между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$.
3. Затем выполняем симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс (оси OX). Это соответствует умножению функции на $-1$.
Таким образом, максимумы становятся минимумами, а минимумы - максимумами. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2})$ на графике $y = \frac{1}{2}\sin x$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, -\frac{1}{2})$ на графике $y = -\frac{1}{2}\sin x$. Период $T=2\pi$ не изменяется.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия его в 2 раза вдоль оси OY и последующего зеркального отражения относительно оси OX.

6) $y = 1,5\cos x$;

Для построения графика функции $y = 1,5\cos x$ используется преобразование графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Сначала строим график функции $y = \cos x$ с амплитудой $A=1$.
2. Выполняем растяжение графика от оси абсцисс (оси OX) в 1,5 раза. Это соответствует умножению всех значений функции $y = \cos x$ на 1,5.
Новая амплитуда будет равна $A_1 = 1,5$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1,5, 1,5]$.
Ключевые точки: максимум в $x=0$ будет равен $y=1,5$; минимум в $x=\pi$ будет равен $y=-1,5$. Нули функции (точки пересечения с осью OX) останутся теми же: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Период $T=2\pi$ не изменяется.

Ответ: График функции $y = 1,5\cos x$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его растяжения в 1,5 раза вдоль оси OY.