Номер 42.44, страница 323 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.44. Найдите наибольшее значение выражения $ \cos \alpha + \sin \alpha $.

Для нахождения наибольшего значения выражения $ \cos\alpha + \sin\alpha $ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Этот метод позволяет преобразовать выражение вида $ a\sin x + b\cos x $ к виду $ R\sin(x+\phi) $ или $ R\cos(x-\phi) $, где $ R = \sqrt{a^2+b^2} $.

В нашем случае выражение имеет вид $ 1 \cdot \cos\alpha + 1 \cdot \sin\alpha $, где коэффициенты при тригонометрических функциях равны $ 1 $.

Вычислим множитель $ R $:

$ R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

Теперь вынесем этот множитель за скобки в исходном выражении:

$ \cos\alpha + \sin\alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\alpha \right) $.

Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Подставим эти значения в выражение в скобках. Мы можем сделать замену двумя способами. Рассмотрим один из них.

Заменим $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $ и $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $ соответственно:

$ \sqrt{2} \left( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin\alpha \right) $.

Выражение в скобках является разложением синуса суммы по формуле $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $. Применив эту формулу, получаем:

$ \sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $.

Таким образом, исходное выражение $ \cos\alpha + \sin\alpha $ тождественно равно $ \sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $.

Область значений функции синус – это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что наибольшее значение, которое может принять $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $, равно $ 1 $.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно произведению $ \sqrt{2} $ на максимальное значение синуса:

$ \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} $.

Это значение достигается, когда $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 1 $, например, при $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \sqrt{2} $