gdz.top
Номер 42.49, страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 42. Упражнения для повторения курса алгебры и начал математического анализа 10 класса - номер 42.49, страница 324.
№42.48
№42.49 (с. 324)
Условие. №42.49 (с. 324)
42.49. Сколько корней уравнения $\text{tg} \frac{x}{2} = -1$ принадлежат промежутку $\left[0; \frac{9\pi}{2}\right]$?
Решение 1. №42.49 (с. 324)
Решение 2. №42.49 (с. 324)
Решение 3. №42.49 (с. 324)
Решение 5. №42.49 (с. 324)
Сначала найдем общее решение уравнения $\text{tg}\frac{x}{2} = -1$.
Аргумент тангенса $\frac{x}{2}$ можно выразить через арктангенс:
$\frac{x}{2} = \text{arctg}(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
Поскольку значение $\text{arctg}(-1)$ равно $-\frac{\pi}{4}$, получаем:
$\frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь выразим $x$, умножив обе части уравнения на 2:
$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi n\right)$
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Далее необходимо найти, сколько корней из этой серии принадлежит промежутку $\left[0; \frac{9\pi}{2}\right]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:
$0 \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \le \frac{9\pi}{2}$
Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства:
$0 + \frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{2} + 2\pi n + \frac{\pi}{2} \le \frac{9\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \le 2\pi n \le \frac{10\pi}{2}$
$\frac{\pi}{2} \le 2\pi n \le 5\pi$
Разделим все части неравенства на $2\pi$:
$\frac{\pi/2}{2\pi} \le \frac{2\pi n}{2\pi} \le \frac{5\pi}{2\pi}$
$\frac{1}{4} \le n \le \frac{5}{2}$
$0.25 \le n \le 2.5$
Так как $n$ должно быть целым числом, этому неравенству удовлетворяют значения $n=1$ и $n=2$.
Таким образом, на заданном промежутке лежат два корня уравнения.
При $n=1$: $x_1 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(1) = \frac{3\pi}{2}$.
При $n=2$: $x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(2) = \frac{7\pi}{2}$.
Оба корня $\frac{3\pi}{2}$ и $\frac{7\pi}{2}$ принадлежат промежутку $\left[0; \frac{9\pi}{2}\right]$.
Ответ: 2
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 42.49 расположенного на странице 324 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №42.49 (с. 324), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.