Номер 42.53, страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.53. Решите уравнение:

1) $arcsin x = -\frac{\pi}{4}$;

2) $arcsin x = \frac{5\pi}{6}$;

3) $arccos(x - 1) = \frac{2\pi}{3}$;

4) $arctg(3x + \sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

1) Дано уравнение $\arcsin x = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арксинуса, если $\arcsin a = b$, то это эквивалентно тому, что $\sin b = a$ при условии, что $b$ принадлежит области значений функции арксинус, то есть $b \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

В данном уравнении $b = -\frac{\pi}{4}$. Проверим, выполняется ли условие: $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$. Условие выполнено, так как $-\frac{2\pi}{4} \le -\frac{\pi}{4} \le \frac{2\pi}{4}$.

Следовательно, мы можем найти $x$:

$x = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Так как синус является нечетной функцией ($\sin(-a) = -\sin(a)$), получаем:

$x = -\sin(\frac{\pi}{4})$

Табличное значение $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Дано уравнение $\arcsin x = \frac{5\pi}{6}$.

Область значений функции $y = \arcsin x$ — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Необходимо проверить, принадлежит ли значение $\frac{5\pi}{6}$ этому отрезку.

Сравним $\frac{5\pi}{6}$ с верхней границей отрезка $\frac{\pi}{2}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6}$.

Очевидно, что $\frac{5\pi}{6} > \frac{3\pi}{6}$, то есть $\frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{2}$.

Поскольку значение $\frac{5\pi}{6}$ не входит в область значений функции арксинус, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Дано уравнение $\arccos(x - 1) = \frac{2\pi}{3}$.

По определению арккосинуса, если $\arccos a = b$, то это эквивалентно тому, что $\cos b = a$ при условии, что $b$ принадлежит области значений функции арккосинус, то есть $b \in [0; \pi]$.

В данном уравнении $b = \frac{2\pi}{3}$. Проверим, выполняется ли условие: $0 \le \frac{2\pi}{3} \le \pi$. Условие выполнено.

Следовательно, мы можем найти выражение в скобках:

$x - 1 = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Табличное значение $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Подставим это значение в уравнение:

$x - 1 = -\frac{1}{2}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$x = 1 - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

4) Дано уравнение $\operatorname{arctg}(3x + \sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арктангенса, если $\operatorname{arctg} a = b$, то это эквивалентно тому, что $\operatorname{tg} b = a$ при условии, что $b$ принадлежит области значений функции арктангенс, то есть $b \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

В данном уравнении $b = \frac{\pi}{6}$. Проверим, выполняется ли условие: $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$. Условие выполнено.

Следовательно, мы можем найти выражение в скобках:

$3x + \sqrt{3} = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$

Табличное значение $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ (или $\frac{\sqrt{3}}{3}$).

Подставим это значение в уравнение:

$3x + \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Выразим $3x$:

$3x = \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $\sqrt{3}$:

$3x = \frac{1 - (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{\sqrt{3}} = \frac{1 - 3}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{-\frac{2}{\sqrt{3}}}{3} = -\frac{2}{3\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$x = -\frac{2 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $-\frac{2\sqrt{3}}{9}$.