Номер 42.55, страница 325 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.55. Найдите корни уравнения $|\sin x| = 2\sin x + \cos x$, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$.

Для решения уравнения $|\sin x| = 2\sin x + \cos x$ на промежутке $[0, 2\pi]$ необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под знаком модуля.

1. Случай, когда $\sin x \ge 0$

На заданном промежутке $[0, 2\pi]$ это условие выполняется для $x \in [0, \pi]$. В этом случае модуль раскрывается со знаком плюс: $|\sin x| = \sin x$.

Уравнение принимает вид:

$\sin x = 2\sin x + \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin x - 2\sin x - \cos x = 0$

$-\sin x - \cos x = 0$

$\sin x + \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что $\cos x \ne 0$, так как если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -1$

Общее решение этого уравнения имеет вид $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, удовлетворяющие условию $x \in [0, \pi]$:

При $n=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит промежутку $[0, \pi]$.

Другие целочисленные значения $n$ дают корни, не входящие в данный промежуток. Таким образом, из первого случая получаем один корень $x = \frac{3\pi}{4}$.

2. Случай, когда $\sin x < 0$

На заданном промежутке $[0, 2\pi]$ это условие выполняется для $x \in (\pi, 2\pi)$. В этом случае модуль раскрывается со знаком минус: $|\sin x| = -\sin x$.

Уравнение принимает вид:

$-\sin x = 2\sin x + \cos x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$3\sin x + \cos x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение. Как и в первом случае, $\cos x \ne 0$. Разделим обе части на $\cos x$:

$3\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$3\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -\frac{1}{3}$

Общее решение этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, удовлетворяющие условию $x \in (\pi, 2\pi)$:

При $k=1$: $x = \pi - \arctan(\frac{1}{3})$. Этот корень находится во второй четверти, где $\sin x > 0$, что не соответствует условию $\sin x < 0$.

При $k=2$: $x = 2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$. Этот корень находится в четвертой четверти, где $\sin x < 0$, что соответствует условию. Корень $2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$ принадлежит промежутку $(\pi, 2\pi)$.

Другие целочисленные значения $k$ дают корни вне этого промежутка. Таким образом, из второго случая получаем еще один корень $x = 2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$.

Итак, на промежутке $[0, 2\pi]$ уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$, $2\pi - \arctan(\frac{1}{3})$.