Номер 42.50, страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.50. Вычислите значение выражения:

1) $ \cos \left( \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right); $

2) $ \sin \left( \arcsin \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{2} \right); $

3) $ \tg \left( 2\arctg \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \right); $

4) $ \ctg \left( 3\arccos \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right). $

1) Вычислим значение выражения $ \cos\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $.
По определению обратных тригонометрических функций находим значения арккосинуса и арксинуса:
$ \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in [0, \pi] $.
$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Подставляем найденные значения в исходное выражение:
$ \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $.
Вычисляем значение косинуса:
$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

2) Вычислим значение выражения $ \sin\left(\arcsin\frac{1}{2} + \arccos\frac{1}{2}\right) $.
Используем основное тригонометрическое тождество для обратных функций: $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $ для любого $ x \in [-1, 1] $.
В нашем случае $ x = \frac{1}{2} $, что удовлетворяет условию $ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $.
Следовательно, $ \arcsin\frac{1}{2} + \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} $.
Подставляем это значение в выражение:
$ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $.
Ответ: $ 1 $.

3) Вычислим значение выражения $ \text{tg}\left(2\text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) $.
Сначала найдем значение арктангенса:
$ \text{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \text{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $ и $ -\frac{\pi}{6} \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Подставляем найденное значение в исходное выражение:
$ \text{tg}\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \text{tg}\left(-\frac{2\pi}{6}\right) = \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) $.
Используя свойство нечетности тангенса $ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $, получаем:
$ \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} $.
Ответ: $ -\sqrt{3} $.

4) Вычислим значение выражения $ \text{ctg}\left(3\text{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) $.
Найдем значение арккосинуса. Используем свойство $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $:
$ \text{arccos}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Подставляем найденное значение в исходное выражение:
$ \text{ctg}\left(3 \cdot \frac{5\pi}{6}\right) = \text{ctg}\left(\frac{15\pi}{6}\right) = \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2}\right) $.
Учитывая периодичность котангенса (период $ \pi $), можно упростить аргумент:
$ \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} $.
$ \text{ctg}\left(\frac{5\pi}{2}\right) = \text{ctg}\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) $.
Вычисляем значение котангенса:
$ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0 $.
Ответ: $ 0 $.