Номер 42.43, страница 323 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.43. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha \sin \beta (\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta) = \sin (\alpha + \beta)$

2) $\frac{2\sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta} = \operatorname{tg} (\alpha + \beta)$

3) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sqrt{2} \sin \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$

1)

Докажем тождество $ \sin \alpha \sin \beta (\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta) = \sin (\alpha + \beta) $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем определения котангенса $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{ctg } \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $.

$ \sin \alpha \sin \beta (\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta) = \sin \alpha \sin \beta \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right) $

Раскроем скобки, умножив $ \sin \alpha \sin \beta $ на каждый член в скобках:

$ \sin \alpha \sin \beta \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \sin \alpha \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сократим дроби:

$ \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta $

Полученное выражение является формулой синуса суммы двух углов:

$ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) $

Таким образом, левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $ \frac{2\sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta} = \text{tg}(\alpha + \beta) $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулы синуса и косинуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $ и $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель дроби.

Преобразуем числитель:
$ 2\sin \alpha \cos \beta - (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 2\sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Преобразуем знаменатель:
$ (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - 2\sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

Теперь вся дробь имеет вид:

$ \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} $

В числителе мы получили формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) $, а в знаменателе — формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $.

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $

Отношение синуса к косинусу одного и того же угла есть тангенс этого угла:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество $ \frac{\sqrt{2}\cos \alpha - 2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sqrt{2}\sin \alpha} = \text{tg } \alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулы синуса и косинуса суммы:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha $

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha $

Зная, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставим эти значения:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $

Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби.

Преобразуем числитель:
$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)\right) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $.

Преобразуем знаменатель:
$ 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)\right) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $.

Теперь вся дробь имеет вид:

$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} $

Сократив $ \sqrt{2} $, получим:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg } \alpha $

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.