Номер 42.40, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.40. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $2\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$;

2) $4\cos^2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$.

1) Рассмотрим выражение $2\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим $\sin^2\alpha$ через $\cos^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$2\cos^2\alpha - 3(1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 3 + 3\cos^2\alpha = 5\cos^2\alpha - 3$.
Теперь нам нужно найти область значений выражения $5\cos^2\alpha - 3$. Мы знаем, что значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Следовательно, значения $\cos^2\alpha$ лежат в пределах от 0 до 1:
$0 \le \cos^2\alpha \le 1$.
Чтобы найти область значений для всего выражения, выполним соответствующие операции с этим неравенством:
1. Умножим все части неравенства на 5: $0 \cdot 5 \le 5\cos^2\alpha \le 1 \cdot 5$, что дает $0 \le 5\cos^2\alpha \le 5$.
2. Вычтем 3 из всех частей неравенства: $0 - 3 \le 5\cos^2\alpha - 3 \le 5 - 3$, что дает $-3 \le 5\cos^2\alpha - 3 \le 2$.
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается, когда $\cos^2\alpha = 0$, например, при $\alpha = \frac{\pi}{2}$), а наибольшее значение равно 2 (достигается, когда $\cos^2\alpha = 1$, например, при $\alpha = 0$).
Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 2.

2) Рассмотрим выражение $4\cos^2\alpha - \tan\alpha \cdot \cot\alpha$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения. Функция $\tan\alpha$ определена, когда $\cos\alpha \neq 0$. Функция $\cot\alpha$ определена, когда $\sin\alpha \neq 0$.
Следовательно, выражение имеет смысл только при условии, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{k\pi}{2}$ для любого целого числа $k$.
В области допустимых значений произведение $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$, так как $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Тогда выражение упрощается до $4\cos^2\alpha - 1$.
Теперь найдем, какие значения может принимать $\cos^2\alpha$ с учетом ОДЗ.
Из условия $\cos\alpha \neq 0$ следует, что $\cos^2\alpha \neq 0$.
Из условия $\sin\alpha \neq 0$ следует, что $\sin^2\alpha \neq 0$. Так как $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, то $1 - \cos^2\alpha \neq 0$, что означает $\cos^2\alpha \neq 1$.
Таким образом, для допустимых значений $\alpha$ имеем строгое неравенство: $0 < \cos^2\alpha < 1$.
Теперь найдем множество значений выражения $4\cos^2\alpha - 1$:
1. Умножим неравенство $0 < \cos^2\alpha < 1$ на 4: $0 < 4\cos^2\alpha < 4$.
2. Вычтем 1 из всех частей: $0 - 1 < 4\cos^2\alpha - 1 < 4 - 1$, что дает $-1 < 4\cos^2\alpha - 1 < 3$.
Значения выражения лежат в интервале $(-1, 3)$. Это означает, что выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к -1 и 3, но никогда их не достигает. Следовательно, у выражения нет наименьшего и наибольшего значений в строгом смысле (минимума и максимума). Однако оно ограничено снизу числом -1 и сверху числом 3.
Ответ: выражение не имеет наименьшего и наибольшего значений. Множеством значений выражения является интервал $(-1, 3)$.