Номер 42.41, страница 323 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.41. Упростите выражение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(\pi - \alpha) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \operatorname{ctg}(\pi + \alpha)$;

2) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\sin(\pi - \alpha) + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\cos(2\pi - \alpha)$;

3) $\frac{\sin(2\pi - \alpha)\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos(2\pi + \alpha)\operatorname{tg}(\pi + \alpha)}$;

4) $\frac{\operatorname{ctg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)}{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha - 3\pi)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}^2(5\pi - \alpha) - 1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}$.

1) $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) + cos(\pi - \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + ctg(\pi + \alpha)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения:

• $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$ (угол в I четверти, функция меняется на кофункцию, знак +)
• $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ (угол во II четверти, функция не меняется, знак -)
• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$ (угол в IV четверти, функция меняется на кофункцию, знак -)
• $ctg(\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$ (угол в III четверти, функция не меняется, знак +)

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$cos(\alpha) + (-cos(\alpha)) + (-ctg(\alpha)) + ctg(\alpha) = cos(\alpha) - cos(\alpha) - ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$

Ответ: 0.

2) $sin(\alpha + \frac{\pi}{2})sin(\pi - \alpha) + cos(\alpha + \frac{\pi}{2})cos(2\pi - \alpha)$

Применим формулы приведения к каждому множителю:

• $sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = cos(\alpha)$ (угол во II четверти, функция меняется, знак +)
• $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ (угол во II четверти, функция не меняется, знак +)
• $cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -sin(\alpha)$ (угол во II четверти, функция меняется, знак -)
• $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$ (периодичность косинуса, или угол в IV четверти, функция не меняется, знак +)

Подставляем полученные значения в выражение:

$cos(\alpha) \cdot sin(\alpha) + (-sin(\alpha)) \cdot cos(\alpha) = sin(\alpha)cos(\alpha) - sin(\alpha)cos(\alpha) = 0$

Ответ: 0.

3) $\frac{sin(2\pi - \alpha)tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{cos(2\pi + \alpha)tg(\pi + \alpha)}$

Упростим числитель и знаменатель дроби с помощью формул приведения.

Числитель:

• $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$ (IV четверть, знак -)
• $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$ (III четверть, функция меняется, знак +)
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, функция меняется, знак -)

Знаменатель:

• $cos(2\pi + \alpha) = cos(\alpha)$ (периодичность)
• $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ (III четверть, знак +)

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{(-sin(\alpha)) \cdot (ctg(\alpha)) \cdot (-tg(\alpha))}{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)} = \frac{sin(\alpha) \cdot ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha)}{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)}$

Так как $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$, то $sin(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = sin(\alpha) \cdot \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = cos(\alpha)$ (при $sin(\alpha) \neq 0$).

Тогда выражение примет вид:

$\frac{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)}{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)} = 1$ (при условии, что выражение имеет смысл, т.е. $cos(\alpha) \neq 0$ и $tg(\alpha) \neq 0$).

Ответ: 1.

4) $\frac{ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2})}{1 - tg^2(\alpha - 3\pi)} \cdot \frac{ctg^2(5\pi - \alpha) - 1}{tg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}$

Упростим каждый член выражения, используя свойства тригонометрических функций и формулы приведения.

• $ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = ctg(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -tg(\alpha)$
• $tg(\alpha - 3\pi) = tg(\alpha - \pi) = tg(\alpha)$ (период тангенса равен $\pi$). Следовательно, $tg^2(\alpha - 3\pi) = tg^2(\alpha)$.
• $ctg(5\pi - \alpha) = ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$ (период котангенса равен $\pi$). Следовательно, $ctg^2(5\pi - \alpha) = (-ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$.
• $tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\frac{-tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} \cdot \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{-ctg(\alpha)}$

Сократим знаки минус:

$\frac{tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} \cdot \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{ctg(\alpha)}$

Воспользуемся формулами двойного угла для тангенса и котангенса:

$tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} \implies \frac{tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{1}{2}tg(2\alpha)$

$ctg(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2ctg(\alpha)} \implies \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{ctg(\alpha)} = 2ctg(2\alpha)$

Перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{2}tg(2\alpha)) \cdot (2ctg(2\alpha)) = tg(2\alpha) \cdot ctg(2\alpha) = 1$

Ответ: 1.