Номер 42.47, страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.47. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$

Дано тригонометрическое уравнение:

$ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $

Для решения этого уравнения найдем общее решение. Аргумент синуса $ \left(x + \frac{\pi}{3}\right) $ должен быть равен углам, синус которых равен $ \frac{1}{2} $.

Общее решение уравнения $ \sin(y) = a $ имеет вид $ y = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

В нашем случае $ a = \frac{1}{2} $, и $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $.

Следовательно, для аргумента синуса получаем:

$ x + \frac{\pi}{3} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Выразим $ x $:

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $

Для нахождения наименьшего положительного корня рассмотрим две серии решений, соответствующие четным и нечетным значениям $ n $.

1. Пусть $ n $ — четное число, то есть $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi(2k) $

$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k $

Нам нужен наименьший положительный корень, то есть $ x > 0 $.

$ -\frac{\pi}{6} + 2\pi k > 0 $

$ 2\pi k > \frac{\pi}{6} $

$ k > \frac{1}{12} $

Наименьшее целое $ k $, удовлетворяющее этому условию, это $ k = 1 $.

Подставим $ k = 1 $ в формулу для $ x $:

$ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(1) = \frac{11\pi}{6} $

2. Пусть $ n $ — нечетное число, то есть $ n = 2k + 1 $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \pi(2k + 1) $

$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k + \pi $

$ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

Найдем наименьший положительный корень из этой серии, решив неравенство $ x > 0 $.

$ \frac{\pi}{2} + 2\pi k > 0 $

$ 2\pi k > -\frac{\pi}{2} $

$ k > -\frac{1}{4} $

Наименьшее целое $ k $, удовлетворяющее этому условию, это $ k = 0 $.

Подставим $ k = 0 $ в формулу для $ x $:

$ x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi(0) = \frac{\pi}{2} $

Теперь сравним полученные положительные корни: $ x_1 = \frac{11\pi}{6} $ и $ x_2 = \frac{\pi}{2} $.

Поскольку $ \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} $, очевидно, что $ \frac{3\pi}{6} < \frac{11\pi}{6} $.

Следовательно, наименьший положительный корень уравнения — это $ \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $