Номер 42.46, страница 324 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.46. Решите уравнение:

1) $2\sin\left(\frac{x}{6}+\frac{\pi}{12}\right)+2=0;$

2) $2\cos\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)+\sqrt{3}=0;$

3) $3+\sqrt{3}\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0;$

4) $4\operatorname{ctg}(3x-9)-8=0.$

1) $2\sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12}\right) + 2 = 0$

Сначала выразим синус из уравнения:

$2\sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12}\right) = -2$

$\sin\left(\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12}\right) = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\sin(t) = -1$ имеет вид $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Применим эту формулу к нашему уравнению:

$\frac{x}{6} + \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{12}$ в правую часть:

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{x}{6} = -\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

$\frac{x}{6} = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n$

Умножим обе части уравнения на 6:

$x = 6 \cdot \left(-\frac{7\pi}{12} + 2\pi n\right)$

$x = -\frac{42\pi}{12} + 12\pi n$

$x = -\frac{7\pi}{2} + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{7\pi}{2} + 12\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) + \sqrt{3} = 0$

Выразим косинус из уравнения:

$2\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = -\sqrt{3}$

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как косинус является четной функцией ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), мы можем поменять знак аргумента:

$\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$. В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

$\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выразим $\frac{x}{2}$:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Рассмотрим два случая:

1. С положительным знаком:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$

$x = 2 \cdot \left(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n$

2. С отрицательным знаком:

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = -\pi + 4\pi n$

Ответ: $x = \frac{7\pi}{3} + 4\pi n, \quad x = -\pi + 4\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + \sqrt{3}\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 0$

Выразим тангенс из уравнения:

$\sqrt{3}\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -3$

$\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3}$

Общее решение для уравнения $\text{tg}(t) = a$ имеет вид $t = \text{arctg}(a) + \pi n$. В нашем случае $a = -\sqrt{3}$, и $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$x = \frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi n$

$x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4) $4\text{ctg}(3x - 9) - 8 = 0$

Выразим котангенс из уравнения:

$4\text{ctg}(3x - 9) = 8$

$\text{ctg}(3x - 9) = 2$

Общее решение для уравнения $\text{ctg}(t) = a$ имеет вид $t = \text{arcctg}(a) + \pi n$.

$3x - 9 = \text{arcctg}(2) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$3x = 9 + \text{arcctg}(2) + \pi n$

$x = \frac{9 + \text{arcctg}(2) + \pi n}{3}$

$x = 3 + \frac{1}{3}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 3 + \frac{1}{3}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$.