Страница 323 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.41. Упростите выражение:

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) + \cos(\pi - \alpha) + \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) + \operatorname{ctg}(\pi + \alpha)$;

2) $\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\sin(\pi - \alpha) + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)\cos(2\pi - \alpha)$;

3) $\frac{\sin(2\pi - \alpha)\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}{\cos(2\pi + \alpha)\operatorname{tg}(\pi + \alpha)}$;

4) $\frac{\operatorname{ctg}\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right)}{1 - \operatorname{tg}^2(\alpha - 3\pi)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}^2(5\pi - \alpha) - 1}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}$.

1) $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) + cos(\pi - \alpha) + tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) + ctg(\pi + \alpha)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения:

• $sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha)$ (угол в I четверти, функция меняется на кофункцию, знак +)
• $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$ (угол во II четверти, функция не меняется, знак -)
• $tg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$ (угол в IV четверти, функция меняется на кофункцию, знак -)
• $ctg(\pi + \alpha) = ctg(\alpha)$ (угол в III четверти, функция не меняется, знак +)

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$cos(\alpha) + (-cos(\alpha)) + (-ctg(\alpha)) + ctg(\alpha) = cos(\alpha) - cos(\alpha) - ctg(\alpha) + ctg(\alpha) = 0$

Ответ: 0.

2) $sin(\alpha + \frac{\pi}{2})sin(\pi - \alpha) + cos(\alpha + \frac{\pi}{2})cos(2\pi - \alpha)$

Применим формулы приведения к каждому множителю:

• $sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = cos(\alpha)$ (угол во II четверти, функция меняется, знак +)
• $sin(\pi - \alpha) = sin(\alpha)$ (угол во II четверти, функция не меняется, знак +)
• $cos(\alpha + \frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -sin(\alpha)$ (угол во II четверти, функция меняется, знак -)
• $cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$ (периодичность косинуса, или угол в IV четверти, функция не меняется, знак +)

Подставляем полученные значения в выражение:

$cos(\alpha) \cdot sin(\alpha) + (-sin(\alpha)) \cdot cos(\alpha) = sin(\alpha)cos(\alpha) - sin(\alpha)cos(\alpha) = 0$

Ответ: 0.

3) $\frac{sin(2\pi - \alpha)tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha)ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}{cos(2\pi + \alpha)tg(\pi + \alpha)}$

Упростим числитель и знаменатель дроби с помощью формул приведения.

Числитель:

• $sin(2\pi - \alpha) = -sin(\alpha)$ (IV четверть, знак -)
• $tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$ (III четверть, функция меняется, знак +)
• $ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, функция меняется, знак -)

Знаменатель:

• $cos(2\pi + \alpha) = cos(\alpha)$ (периодичность)
• $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ (III четверть, знак +)

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{(-sin(\alpha)) \cdot (ctg(\alpha)) \cdot (-tg(\alpha))}{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)} = \frac{sin(\alpha) \cdot ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha)}{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)}$

Так как $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$, то $sin(\alpha) \cdot ctg(\alpha) = sin(\alpha) \cdot \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = cos(\alpha)$ (при $sin(\alpha) \neq 0$).

Тогда выражение примет вид:

$\frac{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)}{cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)} = 1$ (при условии, что выражение имеет смысл, т.е. $cos(\alpha) \neq 0$ и $tg(\alpha) \neq 0$).

Ответ: 1.

4) $\frac{ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2})}{1 - tg^2(\alpha - 3\pi)} \cdot \frac{ctg^2(5\pi - \alpha) - 1}{tg(\frac{\pi}{2} + \alpha)}$

Упростим каждый член выражения, используя свойства тригонометрических функций и формулы приведения.

• $ctg(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = ctg(-(\frac{3\pi}{2} - \alpha)) = -ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -tg(\alpha)$
• $tg(\alpha - 3\pi) = tg(\alpha - \pi) = tg(\alpha)$ (период тангенса равен $\pi$). Следовательно, $tg^2(\alpha - 3\pi) = tg^2(\alpha)$.
• $ctg(5\pi - \alpha) = ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$ (период котангенса равен $\pi$). Следовательно, $ctg^2(5\pi - \alpha) = (-ctg(\alpha))^2 = ctg^2(\alpha)$.
• $tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$\frac{-tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} \cdot \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{-ctg(\alpha)}$

Сократим знаки минус:

$\frac{tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} \cdot \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{ctg(\alpha)}$

Воспользуемся формулами двойного угла для тангенса и котангенса:

$tg(2\alpha) = \frac{2tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} \implies \frac{tg(\alpha)}{1 - tg^2(\alpha)} = \frac{1}{2}tg(2\alpha)$

$ctg(2\alpha) = \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{2ctg(\alpha)} \implies \frac{ctg^2(\alpha) - 1}{ctg(\alpha)} = 2ctg(2\alpha)$

Перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{2}tg(2\alpha)) \cdot (2ctg(2\alpha)) = tg(2\alpha) \cdot ctg(2\alpha) = 1$

Ответ: 1.

42.42. Дано: $\sin \alpha = -0,8$, $\cos \beta = 0,6$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Найдите

$\cos (\alpha + \beta)$.

Для того чтобы найти $cos(α + β)$, воспользуемся формулой косинуса суммы двух углов:
$cos(α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β$

Нам даны значения $sin α = -0,8$ и $cos β = 0,6$. Для вычисления нам необходимо найти $cos α$ и $sin β$.

1. Найдем значение $cos α$.
Используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2α + cos^2α = 1$.
Из этого тождества выразим $cos^2α$:
$cos^2α = 1 - sin^2α$
Подставим известное значение $sin α$:
$cos^2α = 1 - (-0,8)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$
Следовательно, $cos α = \pm\sqrt{0,36} = \pm0,6$.
По условию угол $α$ находится в интервале $π < α < \frac{3π}{2}$, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения. Таким образом, $cos α = -0,6$.

2. Найдем значение $sin β$.
Аналогично, используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2β + cos^2β = 1$.
Выразим $sin^2β$:
$sin^2β = 1 - cos^2β$
Подставим известное значение $cos β$:
$sin^2β = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$
Следовательно, $sin β = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.
По условию угол $β$ находится в интервале $\frac{3π}{2} < β < 2π$, что соответствует четвертой координатной четверти. В этой четверти синус принимает отрицательные значения. Таким образом, $sin β = -0,8$.

3. Вычислим $cos(α + β)$.
Теперь, когда все компоненты известны, подставим их в формулу косинуса суммы:
$cos(α + β) = cos α \cdot cos β - sin α \cdot sin β$
$cos(α + β) = (-0,6) \cdot (0,6) - (-0,8) \cdot (-0,8)$
$cos(α + β) = -0,36 - (0,64)$
$cos(α + β) = -0,36 - 0,64 = -1$

Ответ: -1

42.43. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha \sin \beta (\operatorname{ctg} \alpha + \operatorname{ctg} \beta) = \sin (\alpha + \beta)$

2) $\frac{2\sin \alpha \cos \beta - \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta} = \operatorname{tg} (\alpha + \beta)$

3) $\frac{\sqrt{2} \cos \alpha - 2 \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{2 \sin \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sqrt{2} \sin \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$

1)

Докажем тождество $ \sin \alpha \sin \beta (\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta) = \sin (\alpha + \beta) $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем определения котангенса $ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ и $ \text{ctg } \beta = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $.

$ \sin \alpha \sin \beta (\text{ctg } \alpha + \text{ctg } \beta) = \sin \alpha \sin \beta \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right) $

Раскроем скобки, умножив $ \sin \alpha \sin \beta $ на каждый член в скобках:

$ \sin \alpha \sin \beta \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \sin \alpha \sin \beta \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} $

Сократим дроби:

$ \sin \beta \cos \alpha + \sin \alpha \cos \beta $

Полученное выражение является формулой синуса суммы двух углов:

$ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha + \beta) $

Таким образом, левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество $ \frac{2\sin \alpha \cos \beta - \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta} = \text{tg}(\alpha + \beta) $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулы синуса и косинуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $ и $ \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta $.

Подставим эти формулы в числитель и знаменатель дроби.

Преобразуем числитель:
$ 2\sin \alpha \cos \beta - (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = 2\sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $.

Преобразуем знаменатель:
$ (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta - 2\sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $.

Теперь вся дробь имеет вид:

$ \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} $

В числителе мы получили формулу синуса суммы $ \sin(\alpha + \beta) $, а в знаменателе — формулу косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) $.

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} $

Отношение синуса к косинусу одного и того же угла есть тангенс этого угла:

$ \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество $ \frac{\sqrt{2}\cos \alpha - 2\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sqrt{2}\sin \alpha} = \text{tg } \alpha $.

Преобразуем левую часть равенства. Используем формулы синуса и косинуса суммы:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha $

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha $

Зная, что $ \sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $, подставим эти значения:

$ \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) $

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $

Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби.

Преобразуем числитель:
$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha - \sin\alpha)\right) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha - \sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $.

Преобразуем знаменатель:
$ 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)\right) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\cos\alpha $.

Теперь вся дробь имеет вид:

$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sqrt{2}\cos\alpha} $

Сократив $ \sqrt{2} $, получим:

$ \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg } \alpha $

Левая часть тождества равна правой.

Ответ: Тождество доказано.

42.44. Найдите наибольшее значение выражения $ \cos \alpha + \sin \alpha $.

Для нахождения наибольшего значения выражения $ \cos\alpha + \sin\alpha $ воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Этот метод позволяет преобразовать выражение вида $ a\sin x + b\cos x $ к виду $ R\sin(x+\phi) $ или $ R\cos(x-\phi) $, где $ R = \sqrt{a^2+b^2} $.

В нашем случае выражение имеет вид $ 1 \cdot \cos\alpha + 1 \cdot \sin\alpha $, где коэффициенты при тригонометрических функциях равны $ 1 $.

Вычислим множитель $ R $:

$ R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $.

Теперь вынесем этот множитель за скобки в исходном выражении:

$ \cos\alpha + \sin\alpha = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\alpha + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\alpha \right) $.

Мы знаем, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $ и $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Подставим эти значения в выражение в скобках. Мы можем сделать замену двумя способами. Рассмотрим один из них.

Заменим $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $ и $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $ соответственно:

$ \sqrt{2} \left( \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\alpha + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin\alpha \right) $.

Выражение в скобках является разложением синуса суммы по формуле $ \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $. Применив эту формулу, получаем:

$ \sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $.

Таким образом, исходное выражение $ \cos\alpha + \sin\alpha $ тождественно равно $ \sqrt{2} \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $.

Область значений функции синус – это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что наибольшее значение, которое может принять $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) $, равно $ 1 $.

Следовательно, наибольшее значение всего выражения равно произведению $ \sqrt{2} $ на максимальное значение синуса:

$ \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} $.

Это значение достигается, когда $ \sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) = 1 $, например, при $ \alpha = \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ \sqrt{2} $

42.45. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$;

2) $\frac{1 - \cos 6\alpha - \cos 2\alpha + \cos 4\alpha}{2 \sin \alpha \cos 2\alpha}$;

3) $\sin 6\alpha \operatorname{tg} 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha$;

4) $\cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha - \cos 2\alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$;

5) $\frac{2 \cos^2 2\alpha + \sin 2\alpha - 1}{\sin 2\alpha - \sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha}$;

6) $\frac{\sin \left(\frac{5\pi}{2} - 2\alpha\right) + 2\sin^2 \left(2\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) - 1}{2 \cos 3\alpha}$;

7) $\left(\frac{\cos \alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos 2\alpha}\right) \cdot \frac{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha}{\sin 5\alpha - \sin \alpha}$;

8) $\frac{\sin^2 \left(4\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\operatorname{ctg} \left(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha\right) + \operatorname{tg} \left(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha\right)}$.

1) Для упрощения выражения воспользуемся формулами двойного угла: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + (2\cos^2\alpha - 1)} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}$

Сократим общие множители $2$ и $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Ответ: $\tan\alpha$.

2) Сгруппируем слагаемые в числителе: $(1 - \cos 2\alpha) - (\cos 6\alpha - \cos 4\alpha)$.

Применим формулу понижения степени $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$ и формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$.

$\cos 6\alpha - \cos 4\alpha = -2\sin\frac{6\alpha+4\alpha}{2}\sin\frac{6\alpha-4\alpha}{2} = -2\sin 5\alpha\sin\alpha$.

Числитель примет вид: $2\sin^2\alpha - (-2\sin 5\alpha\sin\alpha) = 2\sin^2\alpha + 2\sin 5\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha(\sin\alpha + \sin 5\alpha)$.

Подставим полученное выражение для числителя в исходную дробь:

$\frac{2\sin\alpha(\sin\alpha + \sin 5\alpha)}{2\sin\alpha\cos 2\alpha} = \frac{\sin\alpha + \sin 5\alpha}{\cos 2\alpha}$

Теперь применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\frac{2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}}{\cos 2\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha\cos(-2\alpha)}{\cos 2\alpha} = \frac{2\sin 3\alpha\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha}$

Сократим дробь на $\cos 2\alpha$:

$2\sin 3\alpha$.

Ответ: $2\sin 3\alpha$.

3) Представим $\tan 3\alpha$ как $\frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha}$ и используем формулу синуса двойного угла для $\sin 6\alpha = 2\sin 3\alpha\cos 3\alpha$.

$\sin 6\alpha \tan 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha = (2\sin 3\alpha\cos 3\alpha) \cdot \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} + 2\cos^2 3\alpha$

Сократим $\cos 3\alpha$ в первом слагаемом:

$2\sin 3\alpha \cdot \sin 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha = 2\sin^2 3\alpha + 2\cos^2 3\alpha$

Вынесем 2 за скобки и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$2(\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $2$.

4) Сгруппируем слагаемые: $(\cos^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha) - (\sin^2\alpha + \cos 2\alpha)$.

В первой группе вынесем за скобки $\cos^2\alpha$: $\cos^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha \cdot 1 = \cos^2\alpha$.

Во второй группе используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$: $\sin^2\alpha + \cos 2\alpha = \sin^2\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) = \cos^2\alpha$.

Теперь вычтем результат второй группы из результата первой:

$\cos^2\alpha - \cos^2\alpha = 0$.

Ответ: $0$.

5) Упростим числитель и знаменатель дроби.

В числителе: $2\cos^2 2\alpha + \sin 2\alpha - 1 = (2\cos^2 2\alpha - 1) + \sin 2\alpha$. По формуле косинуса двойного угла $2\cos^2 x - 1 = \cos 2x$, получаем $2\cos^2 2\alpha - 1 = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$. Таким образом, числитель равен $\cos 4\alpha + \sin 2\alpha$.

В знаменателе: $\sin 2\alpha - \sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = \sin 2\alpha + (\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha)$. По формуле косинуса двойного угла $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$, получаем $\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$. Таким образом, знаменатель равен $\sin 2\alpha + \cos 4\alpha$.

Подставим упрощенные выражения в дробь:

$\frac{\cos 4\alpha + \sin 2\alpha}{\sin 2\alpha + \cos 4\alpha} = 1$

Ответ: $1$.

6) Упростим слагаемые в числителе, используя формулы приведения.

Первое слагаемое: $\sin(\frac{5\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos 2\alpha$.

Выражение $2\sin^2(2\alpha - \frac{3\pi}{2}) - 1$. Упростим $\sin(2\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \sin(-(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)) = -\sin(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha) = -(-\cos 2\alpha) = \cos 2\alpha$.

Тогда выражение становится $2\cos^2(2\alpha) - 1$, что по формуле косинуса двойного угла равно $\cos(2 \cdot 2\alpha) = \cos 4\alpha$.

Числитель дроби: $\cos 2\alpha + \cos 4\alpha$.

Применим к числителю формулу суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$:

$\cos 2\alpha + \cos 4\alpha = 2\cos\frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha-4\alpha}{2} = 2\cos 3\alpha\cos(-\alpha) = 2\cos 3\alpha\cos\alpha$.

Подставим все в исходное выражение: $\frac{2\cos 3\alpha\cos\alpha}{2\cos 3\alpha}$.

Сократив дробь, получаем $\cos\alpha$.

Ответ: $\cos\alpha$.

7) Упростим каждый множитель по отдельности.

Первый множитель: $\frac{\cos\alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos\alpha\cos 2\alpha - \sin\alpha\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha}$.

Числитель равен $\cos(\alpha+2\alpha) = \cos 3\alpha$. Знаменатель равен $\frac{1}{2}\sin(4\alpha)$. Первый множитель: $\frac{\cos 3\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 3\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Второй множитель: $\frac{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha}{\sin 5\alpha - \sin\alpha}$.

Числитель: $\cos 2\alpha - \cos 6\alpha = -2\sin(4\alpha)\sin(-2\alpha) = 2\sin 4\alpha\sin 2\alpha$.

Знаменатель: $\sin 5\alpha - \sin\alpha = 2\cos 3\alpha\sin 2\alpha$.

Второй множитель равен: $\frac{2\sin 4\alpha\sin 2\alpha}{2\cos 3\alpha\sin 2\alpha} = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha}$.

Перемножим упрощенные множители: $\frac{2\cos 3\alpha}{\sin 4\alpha} \cdot \frac{\sin 4\alpha}{\cos 3\alpha} = 2$.

Ответ: $2$.

8) Упростим числитель и знаменатель дроби.

Числитель: $\sin^2(4\alpha - \frac{\pi}{2}) = (\sin(-(\frac{\pi}{2} - 4\alpha)))^2 = (-\sin(\frac{\pi}{2} - 4\alpha))^2 = (-\cos 4\alpha)^2 = \cos^2 4\alpha$.

Знаменатель: $\cot(\frac{3\pi}{2} + 2\alpha) + \tan(\frac{3\pi}{2} - 2\alpha)$. По формулам приведения это равно $-\tan 2\alpha + \cot 2\alpha$.

$\cot 2\alpha - \tan 2\alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} - \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{\cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha\cos 2\alpha} = \frac{\cos 4\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}$.

Теперь составим и упростим исходную дробь:

$\frac{\cos^2 4\alpha}{\frac{2\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha}} = \frac{\cos^2 4\alpha \cdot \sin 4\alpha}{2\cos 4\alpha} = \frac{\sin 4\alpha\cos 4\alpha}{2}$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 8\alpha = 2\sin 4\alpha\cos 4\alpha$, получаем:

$\frac{\frac{1}{2}\sin 8\alpha}{2} = \frac{\sin 8\alpha}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}\sin 8\alpha$.