Страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.10. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = 7x^6;$

2) $f(x) = 3x^5 - 2x^7;$

3) $f(x) = \frac{x^2 + 6}{x^2 - 5};$

4) $f(x) = \sqrt{9 - x^2};$

5) $f(x) = x^2 - x + 1;$

6) $f(x) = \frac{1}{x^3 - x};$

7) $f(x) = (x - 2)^4 - (x + 2)^4;$

8) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{2x + 6};$

9) $f(x) = -x^3 |x|;$

10) $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x}.$

1) $f(x) = 7x^6$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 7(-x)^6 = 7x^6$.Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

2) $f(x) = 3x^5 - 2x^7$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 3(-x)^5 - 2(-x)^7 = -3x^5 - 2(-x^7) = -3x^5 + 2x^7 = -(3x^5 - 2x^7)$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

3) $f(x) = \frac{x^2 + 6}{x^2 - 5}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 5 \neq 0$, откуда $x \neq \pm\sqrt{5}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 6}{(-x)^2 - 5} = \frac{x^2 + 6}{x^2 - 5}$.Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

4) $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $9 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 9$, то есть $-3 \le x \le 3$. Область определения $D(f) = [-3; 3]$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \sqrt{9 - (-x)^2} = \sqrt{9 - x^2}$.Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

5) $f(x) = x^2 - x + 1$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = (-x)^2 - (-x) + 1 = x^2 + x + 1$.Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:$f(-x) = x^2 + x + 1 \neq f(x) = x^2 - x + 1$.$-f(x) = -(x^2 - x + 1) = -x^2 + x - 1 \neq f(-x)$.Так как не выполняется ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

6) $f(x) = \frac{1}{x^3 - x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 - 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \pm1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 - (-x)} = \frac{1}{-x^3 + x} = \frac{1}{-(x^3 - x)} = -\frac{1}{x^3 - x}$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

7) $f(x) = (x - 2)^4 - (x + 2)^4$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = ((-x) - 2)^4 - ((-x) + 2)^4 = (-(x + 2))^4 - (-(x - 2))^4$.Так как степень четная (4), то $(-a)^4 = a^4$.$f(-x) = (x + 2)^4 - (x - 2)^4 = -((x - 2)^4 - (x + 2)^4)$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

8) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{2x + 6}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x + 6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x = 3$ принадлежит области определения, а точка $x = -3$ не принадлежит. Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

9) $f(x) = -x^3|x|$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = -(-x)^3|-x| = -(-x^3)|x| = x^3|x|$.Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:$-f(x) = -(-x^3|x|) = x^3|x|$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

10) $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 4x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 - 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \pm2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-x^3 + 2x^2}{-x^3 + 4x}$.Проверим, выполняется ли условие четности или нечетности. Возьмем, к примеру, $x=1$:$f(1) = \frac{1^3 + 2(1)^2}{1^3 - 4(1)} = \frac{1+2}{1-4} = -1$.$f(-1) = \frac{(-1)^3 + 2(-1)^2}{(-1)^3 - 4(-1)} = \frac{-1+2}{-1+4} = \frac{1}{3}$.Поскольку $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

42.11. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x + 9;$

2) $y = \frac{4}{x-6};$

3) $y = \sqrt[5]{1-2x};$

4) $y = 2 - \sqrt{x-4};$

5) $y = x^2, x \in [1; +\infty);$

6) $y = x^6, x \in (-\infty; -2].$

1) Для нахождения обратной функции к $y = 3x + 9$ необходимо выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.
Выразим $x$ из уравнения:
$3x = y - 9$
$x = \frac{y - 9}{3}$
$x = \frac{1}{3}y - 3$
Теперь меняем $x$ и $y$:
$y = \frac{1}{3}x - 3$
Это и есть обратная функция. Область определения и область значений исходной и обратной функций — все действительные числа.
Ответ: $y = \frac{1}{3}x - 3$

2) Дана функция $y = \frac{4}{x - 6}$.
Выразим $x$ через $y$:
$y(x - 6) = 4$
При условии, что $y \neq 0$, делим на $y$:
$x - 6 = \frac{4}{y}$
$x = \frac{4}{y} + 6$
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = \frac{4}{x} + 6$
Область определения исходной функции: $x \neq 6$. Область значений: $y \neq 0$. Для обратной функции область определения $x \neq 0$, а область значений $y \neq 6$, что соответствует полученной формуле.
Ответ: $y = \frac{4}{x} + 6$

3) Дана функция $y = \sqrt[5]{1 - 2x}$.
Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$. Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$y^5 = 1 - 2x$
$2x = 1 - y^5$
$x = \frac{1 - y^5}{2}$
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = \frac{1 - x^5}{2}$
Поскольку корень нечетной степени, область определения и область значений исходной функции — все действительные числа. Следовательно, у обратной функции также нет ограничений.
Ответ: $y = \frac{1 - x^5}{2}$

4) Дана функция $y = 2 - \sqrt{x - 4}$.
Сначала определим область определения и область значений исходной функции.
Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$. Итак, $D(y) = [4; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: так как $\sqrt{x-4} \ge 0$, то $-\sqrt{x-4} \le 0$, и $y = 2 - \sqrt{x-4} \le 2$. Итак, $E(y) = (-\infty; 2]$.
Теперь выразим $x$ через $y$:
$\sqrt{x - 4} = 2 - y$
Возведем обе части в квадрат. Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $2 - y \ge 0 \Rightarrow y \le 2$, что совпадает с найденной областью значений.
$x - 4 = (2 - y)^2$
$x = (2 - y)^2 + 4$
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = (2 - x)^2 + 4$
Область определения обратной функции есть область значений исходной, то есть $x \in (-\infty; 2]$.
Ответ: $y = (2 - x)^2 + 4$, при $x \le 2$

5) Дана функция $y = x^2$ на промежутке $x \in [1; +\infty)$.
На данном промежутке функция монотонно возрастает, значит, обратная функция существует.
Найдем область значений $E(y)$ исходной функции: если $x \ge 1$, то $y = x^2 \ge 1^2 = 1$. Таким образом, $E(y) = [1; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$:
$x^2 = y \Rightarrow x = \pm\sqrt{y}$
Поскольку по условию $x \in [1; +\infty)$, то есть $x$ положителен, выбираем знак плюс: $x = \sqrt{y}$.
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = \sqrt{x}$
Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \in [1; +\infty)$.
Ответ: $y = \sqrt{x}$, при $x \ge 1$

6) Дана функция $y = x^6$ на промежутке $x \in (-\infty; -2]$.
На данном промежутке функция монотонно убывает, значит, обратная функция существует.
Найдем область значений $E(y)$ исходной функции: если $x \le -2$, то $y = x^6 \ge (-2)^6 = 64$. Таким образом, $E(y) = [64; +\infty)$.
Выразим $x$ через $y$:
$x^6 = y \Rightarrow x = \pm\sqrt[6]{y}$
Поскольку по условию $x \in (-\infty; -2]$, то есть $x$ отрицателен, выбираем знак минус: $x = -\sqrt[6]{y}$.
Меняем $x$ и $y$ местами:
$y = -\sqrt[6]{x}$
Областью определения обратной функции является область значений исходной, то есть $x \in [64; +\infty)$.
Ответ: $y = -\sqrt[6]{x}$, при $x \ge 64$

42.12. Верно ли утверждение:

1) если каждая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то данная функция обратима;

2) если функция является нечётной, то она обратима;

3) если функция является чётной, то она обратима;

4) если обратимая функция является нечётной, то обратная к ней функция также нечётная;

5) функции $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$ взаимно обратные;

6) функции $y = x^4$ и $y = \sqrt[4]{x}$ взаимно обратные?

1) если каждая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то данная функция обратима;

Это утверждение является определением обратимой (или, точнее, инъективной) функции, известным как "тест горизонтальной линии". Функция имеет обратную тогда и только тогда, когда она инъективна, то есть каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Если любая горизонтальная прямая $y=c$ пересекает график функции $y=f(x)$ не более одного раза, это означает, что для любого числа $c$ из области значений уравнение $f(x)=c$ имеет не более одного решения. Это и есть условие инъективности, а значит, и обратимости функции.

Ответ: Да, верно.

2) если функция является нечётной, то она обратима;

Нечётность функции означает, что её график симметричен относительно начала координат и выполняется условие $f(-x) = -f(x)$. Однако это свойство не гарантирует обратимость. Например, функция $y = x^3 - x$ является нечётной, так как $(-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3-x)$. Но она не является обратимой, поскольку разным значениям аргумента может соответствовать одно и то же значение функции. Например, $f(1) = 1-1=0$, $f(0)=0$ и $f(-1)=-1 - (-1) = 0$. Так как $f(1)=f(0)=f(-1)=0$, функция не является инъективной и, следовательно, не обратима.

Ответ: Нет, неверно.

3) если функция является чётной, то она обратима;

Чётность функции означает, что её график симметричен относительно оси ординат и выполняется условие $f(-x) = f(x)$. Если область определения функции симметрична относительно нуля и содержит хотя бы одну ненулевую точку $x_0$, то $f(-x_0) = f(x_0)$. Это означает, что двум разным значениям аргумента ($x_0$ и $-x_0$) соответствует одно и то же значение функции. Следовательно, функция не является инъективной и не может быть обратимой. Например, для функции $y=x^2$ имеем $f(2)=4$ и $f(-2)=4$.

Ответ: Нет, неверно.

4) если обратимая функция является нечётной, то обратная к ней функция также нечётная;

Пусть $y=f(x)$ — обратимая нечётная функция. Пусть $g(x)$ — функция, обратная к $f(x)$. Это значит, что $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$. Нам нужно проверить, выполняется ли для $g(x)$ свойство нечётности, то есть $g(-x) = -g(x)$.
Пусть $y = g(x)$, тогда $x = f(y)$.
Рассмотрим $g(-x)$. Подставим вместо $x$ выражение $f(y)$: $g(-x) = g(-f(y))$.
Так как функция $f$ нечётная, $ -f(y) = f(-y) $.
Тогда $g(-x) = g(f(-y))$.
По определению обратной функции, $g(f(-y)) = -y$.
Итак, мы получили, что $g(-x) = -y$. А поскольку $y=g(x)$, то $g(-x) = -g(x)$.
Это доказывает, что обратная функция $g(x)$ также является нечётной.

Ответ: Да, верно.

5) функции $y = x^3$ и $y = \sqrt[3]{x}$ взаимно обратные;

Чтобы проверить, являются ли функции $f(x) = x^3$ и $g(x) = \sqrt[3]{x}$ взаимно обратными, нужно проверить выполнение двух условий: $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из соответствующих областей определения.
Обе функции определены для всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$).
1. $f(g(x)) = f(\sqrt[3]{x}) = (\sqrt[3]{x})^3 = x$.
2. $g(f(x)) = g(x^3) = \sqrt[3]{x^3} = x$.
Оба условия выполняются для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функции являются взаимно обратными.

Ответ: Да, верно.

6) функции $y = x^4$ и $y = \sqrt[4]{x}$ взаимно обратные?

Функция $f(x) = x^4$ не является обратимой на всей своей области определения ($x \in \mathbb{R}$), так как она является чётной ($f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$) и, следовательно, не инъективна. Например, $f(2) = 16$ и $f(-2) = 16$. Функция, не являющаяся инъективной, не имеет обратной.
Кроме того, если мы проверим композицию функций $g(f(x))$, где $g(x) = \sqrt[4]{x}$ и $f(x)=x^4$:
$g(f(x)) = \sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Так как $|x| \neq x$ для всех отрицательных $x$, то $g(f(x)) \neq x$. Условие взаимной обратности не выполняется. Функции не являются взаимно обратными (если не ограничивать область определения функции $y=x^4$ до $x \geq 0$).

Ответ: Нет, неверно.

42.13. Решите неравенство:

1) $(2x - 3)(3x + 2)(x - 9) \le 0;$

2) $(6 + x)(x + 2)(4 - x) > 0;$

3) $(x + 4,8)(1 - x)(5 - x) \le 0;$

4) $\frac{x - 1,2}{x - 8,4} \ge 0;$

5) $\frac{5 - x}{x - 2} \ge 0;$

6) $\frac{2x + 1,6}{2 - 5x} \le 0;$

7) $\frac{(x + 11)(x + 4)}{x - 10} \ge 0;$

8) $\frac{x - 2,5}{(x + 6)(x - 8)} \le 0.$

1) Решим неравенство $(2x - 3)(3x + 2)(x - 9) \le 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения: $(2x - 3)(3x + 2)(x - 9) = 0$.

Корни уравнения: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$;

$3x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}$;

$x - 9 = 0 \Rightarrow x_3 = 9$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), все точки будут закрашенными.

Точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -\frac{2}{3}]$, $[-\frac{2}{3}; 1,5]$, $[1,5; 9]$, $[9; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 10$: $(2 \cdot 10 - 3)(3 \cdot 10 + 2)(10 - 9) = 17 \cdot 32 \cdot 1 > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

Следовательно, знаки на интервалах распределяются так: $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ - минус; $[-\frac{2}{3}; 1,5]$ - плюс; $[1,5; 9]$ - минус; $[9; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ и $[1,5; 9]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [1,5; 9]$.

2) Решим неравенство $(6 + x)(x + 2)(4 - x) > 0$.

Преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем минус из скобки $(4 - x)$: $-(6 + x)(x + 2)(x - 4) > 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $(x + 6)(x + 2)(x - 4) < 0$.

Найдем корни: $x_1 = -6$, $x_2 = -2$, $x_3 = 4$.

Отметим точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (<), все точки будут выколотыми.

Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -2)$, $(-2; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знаки выражения $(x + 6)(x + 2)(x - 4)$. Для $x = 5$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -6)$ и $(-2; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-2; 4)$.

3) Решим неравенство $(x + 4,8)(1 - x)(5 - x) \le 0$.

Преобразуем множители: $(x + 4,8)(-(x - 1))(-(x - 5)) \le 0$.

Это эквивалентно $(x + 4,8)(x - 1)(x - 5) \le 0$.

Корни: $x_1 = -4,8$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.

Точки на числовой прямой закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Интервалы: $(-\infty; -4,8]$, $[-4,8; 1]$, $[1; 5]$, $[5; +\infty)$.

Определим знаки выражения $(x + 4,8)(x - 1)(x - 5)$. Для $x = 6$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -4,8]$ и $[1; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4,8] \cup [1; 5]$.

4) Решим неравенство $\frac{x - 1,2}{x - 8,4} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 1,2 = 0 \Rightarrow x = 1,2$. Эта точка входит в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x - 8,4 = 0 \Rightarrow x = 8,4$. Эта точка не входит в решение (выколотая), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Интервалы: $(-\infty; 1,2]$, $(1,2; 8,4)$, $(8,4; +\infty)$.

Определим знаки дроби. Для $x = 9$ дробь $\frac{9 - 1,2}{9 - 8,4} > 0$. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; 1,2]$ и $(8,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1,2] \cup (8,4; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{5 - x}{x - 2} \ge 0$.

Преобразуем числитель: $\frac{-(x - 5)}{x - 2} \ge 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $\frac{x - 5}{x - 2} \le 0$.

Нуль числителя: $x = 5$ (закрашенная точка).

Нуль знаменателя: $x = 2$ (выколотая точка).

Интервалы: $(-\infty; 2)$, $(2; 5]$, $[5; +\infty)$.

Определим знаки дроби $\frac{x - 5}{x - 2}$. Для $x = 6$ дробь положительна. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это $(2; 5]$.

Ответ: $x \in (2; 5]$.

6) Решим неравенство $\frac{2x + 1,6}{2 - 5x} \le 0$.

Вынесем множители: $\frac{2(x + 0,8)}{-5(x - 0,4)} \le 0$.

Разделим обе части на $-\frac{2}{5}$ и сменим знак неравенства: $\frac{x + 0,8}{x - 0,4} \ge 0$.

Нуль числителя: $x = -0,8$ (закрашенная точка).

Нуль знаменателя: $x = 0,4$ (выколотая точка).

Интервалы: $(-\infty; -0,8]$, $[-0,8; 0,4)$, $(0,4; +\infty)$.

Определим знаки дроби $\frac{x + 0,8}{x - 0,4}$. Для $x = 1$ дробь положительна. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -0,8]$ и $(0,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,8] \cup (0,4; +\infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{(x + 11)(x + 4)}{x - 10} \ge 0$.

Нули числителя: $x = -11$, $x = -4$ (закрашенные точки).

Нуль знаменателя: $x = 10$ (выколотая точка).

Интервалы: $(-\infty; -11]$, $[-11; -4]$, $[-4; 10)$, $(10; +\infty)$.

Определим знаки выражения. Для $x = 11$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $[-11; -4]$ и $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-11; -4] \cup (10; +\infty)$.

8) Решим неравенство $\frac{x - 2,5}{(x + 6)(x - 8)} \le 0$.

Нуль числителя: $x = 2,5$ (закрашенная точка).

Нули знаменателя: $x = -6$, $x = 8$ (выколотые точки).

Точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 2,5, 8$.

Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 2,5]$, $[2,5; 8)$, $(8; +\infty)$.

Определим знаки выражения. Для $x = 9$ выражение $\frac{9 - 2,5}{(9 + 6)(9 - 8)} > 0$. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -6)$ и $[2,5; 8)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [2,5; 8)$.

42.14. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 6x + 8} > 0$;

2) $\frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 9} < 0$;

3) $x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2}$;

4) $\frac{3x + 1}{x} \le 1$;

5) $\frac{5x - 1}{x} \ge 2$;

6) $\frac{x^3 - 8}{x^3 - 1} \le \frac{x - 2}{x - 1}$;

7) $\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} < 4$;

8) $\frac{2}{x + 1} + \frac{3}{x + 2} \ge 2$.

1)
Исходное неравенство: $ \frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 + 6x + 8} > 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 - 5x + 4 = 0$ корни $x_1 = 1, x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4)$.
Для знаменателя $x^2 + 6x + 8 = 0$ корни $x_1 = -4, x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + 6x + 8 = (x+4)(x+2)$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{(x-1)(x-4)}{(x+4)(x+2)} > 0 $.
Найдем нули числителя (1, 4) и нули знаменателя (-4, -2). Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Определим знаки выражения на полученных интервалах:
$(-\infty; -4): +$
$(-4; -2): -$
$(-2; 1): +$
$(1; 4): -$
$(4; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-2; 1) \cup (4; +\infty)$.

2)
Исходное неравенство: $ \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^2 - 9} < 0 $.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x(x^2 - 3x + 2) = x(x-1)(x-2)$.
Знаменатель: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x+3)} < 0 $.
Нули числителя: 0, 1, 2. Нули знаменателя: -3, 3. Отметим точки на числовой прямой. Все точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -3): -$
$(-3; 0): +$
$(0; 1): -$
$(1; 2): +$
$(2; 3): -$
$(3; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 1) \cup (2; 3)$.

3)
Исходное неравенство: $ x + \frac{1}{x} \ge \frac{5}{2} $.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$x + \frac{1}{x} - \frac{5}{2} \ge 0$
$ \frac{2x^2 + 2 - 5x}{2x} \ge 0 $
$ \frac{2x^2 - 5x + 2}{2x} \ge 0 $.
Найдем корни числителя $2x^2 - 5x + 2 = 0$. $x = \frac{5 \pm \sqrt{25-16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Корни $x_1 = 2, x_2 = \frac{1}{2}$.
Неравенство принимает вид: $ \frac{2(x-2)(x-1/2)}{2x} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x-2)(x-1/2)}{x} \ge 0$.
Нули числителя: 1/2, 2 (включительно). Нуль знаменателя: 0 (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; 0): -$
$(0; 1/2]: +$
$[1/2; 2]: -$
$[2; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (0; 1/2] \cup [2; +\infty)$.

4)
Исходное неравенство: $ \frac{3x+1}{x} \le 1 $.
Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{3x+1}{x} - 1 \le 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{3x+1-x}{x} \le 0 \Rightarrow \frac{2x+1}{x} \le 0$.
Нуль числителя: $x = -1/2$ (включительно). Нуль знаменателя: $x=0$ (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -1/2]: +$
$[-1/2; 0): -$
$(0; +\infty): +$
Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in [-1/2; 0)$.

5)
Исходное неравенство: $ \frac{5x-1}{x} \ge 2 $.
Перенесем 2 в левую часть: $ \frac{5x-1}{x} - 2 \ge 0 $.
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{5x-1-2x}{x} \ge 0 \Rightarrow \frac{3x-1}{x} \ge 0$.
Нуль числителя: $x = 1/3$ (включительно). Нуль знаменателя: $x=0$ (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; 0): +$
$(0; 1/3]: -$
$[1/3; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [1/3; +\infty)$.

6)
Исходное неравенство: $ \frac{x^3-8}{x^3-1} \le \frac{x-2}{x-1} $.
Область допустимых значений: $x \ne 1$.
Разложим $x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$ и $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$. Выражения $x^2+2x+4$ и $x^2+x+1$ всегда положительны.
Перепишем неравенство: $ \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-1)(x^2+x+1)} - \frac{x-2}{x-1} \le 0 $.
Вынесем общий множитель $\frac{x-2}{x-1}$:
$ \frac{x-2}{x-1} \left( \frac{x^2+2x+4}{x^2+x+1} - 1 \right) \le 0 $.
Упростим выражение в скобках: $ \frac{x^2+2x+4 - (x^2+x+1)}{x^2+x+1} = \frac{x+3}{x^2+x+1} $.
Неравенство примет вид: $ \frac{x-2}{x-1} \cdot \frac{x+3}{x^2+x+1} \le 0 $.
Так как $x^2+x+1 > 0$ для всех $x$, можем на него умножить: $ \frac{(x-2)(x+3)}{x-1} \le 0 $.
Нули числителя: -3, 2 (включительно). Нуль знаменателя: 1 (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -3]: -$
$[-3; 1): +$
$(1; 2]: -$
$[2; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (1; 2]$.

7)
Исходное неравенство: $ \frac{2}{x-1} + \frac{3}{x-2} < 4 $.
Перенесем 4 влево и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2(x-2) + 3(x-1) - 4(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
$ \frac{2x-4 + 3x-3 - 4(x^2-3x+2)}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
$ \frac{5x - 7 - 4x^2 + 12x - 8}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
$ \frac{-4x^2 + 17x - 15}{(x-1)(x-2)} < 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{4x^2 - 17x + 15}{(x-1)(x-2)} > 0 $.
Найдем корни числителя $4x^2 - 17x + 15 = 0$. $x = \frac{17 \pm \sqrt{289-240}}{8} = \frac{17 \pm 7}{8}$. Корни $x_1 = 3, x_2 = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
Неравенство примет вид: $ \frac{4(x-3)(x-5/4)}{(x-1)(x-2)} > 0 $.
Нули числителя: 5/4, 3. Нули знаменателя: 1, 2. Все точки выколотые.
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; 1): +$
$(1; 5/4): -$
$(5/4; 2): +$
$(2; 3): -$
$(3; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5/4; 2) \cup (3; +\infty)$.

8)
Исходное неравенство: $ \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x+2} \ge 2 $.
Перенесем 2 влево и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2(x+2) + 3(x+1) - 2(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
$ \frac{2x+4 + 3x+3 - 2(x^2+3x+2)}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
$ \frac{5x + 7 - 2x^2 - 6x - 4}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
$ \frac{-2x^2 - x + 3}{(x+1)(x+2)} \ge 0 $.
Умножим на -1, изменив знак неравенства: $ \frac{2x^2 + x - 3}{(x+1)(x+2)} \le 0 $.
Найдем корни числителя $2x^2 + x - 3 = 0$. $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Неравенство примет вид: $ \frac{2(x-1)(x+3/2)}{(x+1)(x+2)} \le 0 $.
Нули числителя: -3/2, 1 (включительно). Нули знаменателя: -2, -1 (исключительно).
Определим знаки на интервалах:
$(-\infty; -2): +$
$(-2; -3/2]: -$
$[-3/2; -1): +$
$(-1; 1]: -$
$[1; +\infty): +$
Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-2; -3/2] \cup (-1; 1]$.