Номер 42.10, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.10. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = 7x^6;$

2) $f(x) = 3x^5 - 2x^7;$

3) $f(x) = \frac{x^2 + 6}{x^2 - 5};$

4) $f(x) = \sqrt{9 - x^2};$

5) $f(x) = x^2 - x + 1;$

6) $f(x) = \frac{1}{x^3 - x};$

7) $f(x) = (x - 2)^4 - (x + 2)^4;$

8) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{2x + 6};$

9) $f(x) = -x^3 |x|;$

10) $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x}.$

1) $f(x) = 7x^6$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 7(-x)^6 = 7x^6$.Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

2) $f(x) = 3x^5 - 2x^7$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = 3(-x)^5 - 2(-x)^7 = -3x^5 - 2(-x^7) = -3x^5 + 2x^7 = -(3x^5 - 2x^7)$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

3) $f(x) = \frac{x^2 + 6}{x^2 - 5}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 5 \neq 0$, откуда $x \neq \pm\sqrt{5}$. Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 6}{(-x)^2 - 5} = \frac{x^2 + 6}{x^2 - 5}$.Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

4) $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $9 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 9$, то есть $-3 \le x \le 3$. Область определения $D(f) = [-3; 3]$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \sqrt{9 - (-x)^2} = \sqrt{9 - x^2}$.Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

5) $f(x) = x^2 - x + 1$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = (-x)^2 - (-x) + 1 = x^2 + x + 1$.Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:$f(-x) = x^2 + x + 1 \neq f(x) = x^2 - x + 1$.$-f(x) = -(x^2 - x + 1) = -x^2 + x - 1 \neq f(-x)$.Так как не выполняется ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

6) $f(x) = \frac{1}{x^3 - x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 - 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \pm1$. Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{1}{(-x)^3 - (-x)} = \frac{1}{-x^3 + x} = \frac{1}{-(x^3 - x)} = -\frac{1}{x^3 - x}$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

7) $f(x) = (x - 2)^4 - (x + 2)^4$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = ((-x) - 2)^4 - ((-x) + 2)^4 = (-(x + 2))^4 - (-(x - 2))^4$.Так как степень четная (4), то $(-a)^4 = a^4$.$f(-x) = (x + 2)^4 - (x - 2)^4 = -((x - 2)^4 - (x + 2)^4)$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

8) $f(x) = \frac{x^2 + 3x}{2x + 6}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x + 6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$. Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. Эта область не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x = 3$ принадлежит области определения, а точка $x = -3$ не принадлежит. Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

9) $f(x) = -x^3|x|$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = -(-x)^3|-x| = -(-x^3)|x| = x^3|x|$.Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:$-f(x) = -(-x^3|x|) = x^3|x|$.Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

10) $f(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^3 - 4x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 - 4x \neq 0 \Rightarrow x(x^2 - 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \pm2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$ симметрична относительно начала координат. Найдем значение функции в точке $-x$:$f(-x) = \frac{(-x)^3 + 2(-x)^2}{(-x)^3 - 4(-x)} = \frac{-x^3 + 2x^2}{-x^3 + 4x}$.Проверим, выполняется ли условие четности или нечетности. Возьмем, к примеру, $x=1$:$f(1) = \frac{1^3 + 2(1)^2}{1^3 - 4(1)} = \frac{1+2}{1-4} = -1$.$f(-1) = \frac{(-1)^3 + 2(-1)^2}{(-1)^3 - 4(-1)} = \frac{-1+2}{-1+4} = \frac{1}{3}$.Поскольку $f(-1) \neq f(1)$ и $f(-1) \neq -f(1)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.