Номер 42.13, страница 318 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.13. Решите неравенство:

1) $(2x - 3)(3x + 2)(x - 9) \le 0;$

2) $(6 + x)(x + 2)(4 - x) > 0;$

3) $(x + 4,8)(1 - x)(5 - x) \le 0;$

4) $\frac{x - 1,2}{x - 8,4} \ge 0;$

5) $\frac{5 - x}{x - 2} \ge 0;$

6) $\frac{2x + 1,6}{2 - 5x} \le 0;$

7) $\frac{(x + 11)(x + 4)}{x - 10} \ge 0;$

8) $\frac{x - 2,5}{(x + 6)(x - 8)} \le 0.$

1) Решим неравенство $(2x - 3)(3x + 2)(x - 9) \le 0$ методом интервалов.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения: $(2x - 3)(3x + 2)(x - 9) = 0$.

Корни уравнения: $2x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{3}{2} = 1,5$;

$3x + 2 = 0 \Rightarrow x_2 = -\frac{2}{3}$;

$x - 9 = 0 \Rightarrow x_3 = 9$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), все точки будут закрашенными.

Точки разбивают числовую прямую на четыре интервала: $(-\infty; -\frac{2}{3}]$, $[-\frac{2}{3}; 1,5]$, $[1,5; 9]$, $[9; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x = 10$: $(2 \cdot 10 - 3)(3 \cdot 10 + 2)(10 - 9) = 17 \cdot 32 \cdot 1 > 0$.

Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться: $(+)$, $(-)$, $(+)$, $(-)$.

Следовательно, знаки на интервалах распределяются так: $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ - минус; $[-\frac{2}{3}; 1,5]$ - плюс; $[1,5; 9]$ - минус; $[9; +\infty)$ - плюс.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -\frac{2}{3}]$ и $[1,5; 9]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3}] \cup [1,5; 9]$.

2) Решим неравенство $(6 + x)(x + 2)(4 - x) > 0$.

Преобразуем неравенство так, чтобы коэффициент при $x$ в каждом множителе был положительным. Вынесем минус из скобки $(4 - x)$: $-(6 + x)(x + 2)(x - 4) > 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $(x + 6)(x + 2)(x - 4) < 0$.

Найдем корни: $x_1 = -6$, $x_2 = -2$, $x_3 = 4$.

Отметим точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (<), все точки будут выколотыми.

Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; -2)$, $(-2; 4)$, $(4; +\infty)$.

Определим знаки выражения $(x + 6)(x + 2)(x - 4)$. Для $x = 5$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -6)$ и $(-2; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-2; 4)$.

3) Решим неравенство $(x + 4,8)(1 - x)(5 - x) \le 0$.

Преобразуем множители: $(x + 4,8)(-(x - 1))(-(x - 5)) \le 0$.

Это эквивалентно $(x + 4,8)(x - 1)(x - 5) \le 0$.

Корни: $x_1 = -4,8$, $x_2 = 1$, $x_3 = 5$.

Точки на числовой прямой закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$).

Интервалы: $(-\infty; -4,8]$, $[-4,8; 1]$, $[1; 5]$, $[5; +\infty)$.

Определим знаки выражения $(x + 4,8)(x - 1)(x - 5)$. Для $x = 6$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -4,8]$ и $[1; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4,8] \cup [1; 5]$.

4) Решим неравенство $\frac{x - 1,2}{x - 8,4} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 1,2 = 0 \Rightarrow x = 1,2$. Эта точка входит в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x - 8,4 = 0 \Rightarrow x = 8,4$. Эта точка не входит в решение (выколотая), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Интервалы: $(-\infty; 1,2]$, $(1,2; 8,4)$, $(8,4; +\infty)$.

Определим знаки дроби. Для $x = 9$ дробь $\frac{9 - 1,2}{9 - 8,4} > 0$. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; 1,2]$ и $(8,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1,2] \cup (8,4; +\infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{5 - x}{x - 2} \ge 0$.

Преобразуем числитель: $\frac{-(x - 5)}{x - 2} \ge 0$.

Умножим на $-1$ и сменим знак: $\frac{x - 5}{x - 2} \le 0$.

Нуль числителя: $x = 5$ (закрашенная точка).

Нуль знаменателя: $x = 2$ (выколотая точка).

Интервалы: $(-\infty; 2)$, $(2; 5]$, $[5; +\infty)$.

Определим знаки дроби $\frac{x - 5}{x - 2}$. Для $x = 6$ дробь положительна. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это $(2; 5]$.

Ответ: $x \in (2; 5]$.

6) Решим неравенство $\frac{2x + 1,6}{2 - 5x} \le 0$.

Вынесем множители: $\frac{2(x + 0,8)}{-5(x - 0,4)} \le 0$.

Разделим обе части на $-\frac{2}{5}$ и сменим знак неравенства: $\frac{x + 0,8}{x - 0,4} \ge 0$.

Нуль числителя: $x = -0,8$ (закрашенная точка).

Нуль знаменателя: $x = 0,4$ (выколотая точка).

Интервалы: $(-\infty; -0,8]$, $[-0,8; 0,4)$, $(0,4; +\infty)$.

Определим знаки дроби $\frac{x + 0,8}{x - 0,4}$. Для $x = 1$ дробь положительна. Знаки чередуются: $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -0,8]$ и $(0,4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,8] \cup (0,4; +\infty)$.

7) Решим неравенство $\frac{(x + 11)(x + 4)}{x - 10} \ge 0$.

Нули числителя: $x = -11$, $x = -4$ (закрашенные точки).

Нуль знаменателя: $x = 10$ (выколотая точка).

Интервалы: $(-\infty; -11]$, $[-11; -4]$, $[-4; 10)$, $(10; +\infty)$.

Определим знаки выражения. Для $x = 11$ выражение положительно. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $[-11; -4]$ и $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-11; -4] \cup (10; +\infty)$.

8) Решим неравенство $\frac{x - 2,5}{(x + 6)(x - 8)} \le 0$.

Нуль числителя: $x = 2,5$ (закрашенная точка).

Нули знаменателя: $x = -6$, $x = 8$ (выколотые точки).

Точки на числовой прямой в порядке возрастания: $-6, 2,5, 8$.

Интервалы: $(-\infty; -6)$, $(-6; 2,5]$, $[2,5; 8)$, $(8; +\infty)$.

Определим знаки выражения. Для $x = 9$ выражение $\frac{9 - 2,5}{(9 + 6)(9 - 8)} > 0$. Знаки чередуются: $(-)$, $(+)$, $(-)$, $(+)$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty; -6)$ и $[2,5; 8)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup [2,5; 8)$.