Номер 42.16, страница 319 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.16. Найдите множество решений неравенства:

1) $ \frac{(x^2 - 9)\sqrt{2 - x}}{2x + 3} \ge 0; $

2) $ \frac{(x+1)^2\sqrt{x+3}}{16 - x^2} \le 0. $

Решим неравенство $\frac{(x^2 - 9)\sqrt{2 - x}}{2x + 3} \ge 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю.

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

$2x + 3 \ne 0 \implies x \ne -1.5$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1.5) \cup (-1.5, 2]$.

Для решения неравенства применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя, которые принадлежат ОДЗ.

Нули числителя: $(x^2 - 9)\sqrt{2 - x} = 0$. Отсюда либо $x^2 - 9 = 0$, либо $\sqrt{2 - x} = 0$.

Из $x^2 - 9 = 0$ получаем $x = 3$ и $x = -3$. Корень $x = 3$ не входит в ОДЗ ($3 > 2$), а $x = -3$ входит.

Из $\sqrt{2 - x} = 0$ получаем $x = 2$. Этот корень входит в ОДЗ.

Нуль знаменателя: $2x + 3 = 0 \implies x = -1.5$.

Отметим на числовой прямой точки $-3, -1.5, 2$ и определим знаки выражения на получившихся интервалах, учитывая ОДЗ ($x \le 2$). Точка $x=-1.5$ будет выколотой, а точки $x=-3$ и $x=2$ — закрашенными.

• Интервал $(-\infty, -3)$: Возьмем $x=-4$. Знак выражения $\frac{(+)\cdot(+)}{(-)} < 0$. Не подходит.
• Интервал $(-3, -1.5)$: Возьмем $x=-2$. Знак выражения $\frac{(-)\cdot(+)}{(-)} > 0$. Подходит.
• Интервал $(-1.5, 2)$: Возьмем $x=0$. Знак выражения $\frac{(-)\cdot(+)}{(+)} < 0$. Не подходит.

Теперь проверим точки, в которых выражение может обращаться в ноль, так как неравенство нестрогое ($\ge 0$).

При $x = -3$ числитель равен 0, знаменатель не равен 0. Выражение равно 0, что удовлетворяет неравенству. Значит, $x = -3$ является решением.

При $x = 2$ числитель равен 0, знаменатель не равен 0. Выражение равно 0, что удовлетворяет неравенству. Значит, $x = 2$ является решением.

Объединяем полученные результаты: интервал $(-3, -1.5)$ и точки $-3$ и $2$.

Ответ: $[-3, -1.5) \cup \{2\}$.

Решим неравенство $\frac{(x+1)^2 \sqrt{x+3}}{16-x^2} \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

$16 - x^2 \ne 0 \implies x^2 \ne 16 \implies x \ne 4$ и $x \ne -4$.

Следовательно, ОДЗ: $x \in [-3, 4) \cup (4, \infty)$.

Заметим, что числитель $(x+1)^2 \sqrt{x+3}$ всегда неотрицателен в области ОДЗ. Он равен нулю при $x=-1$ и $x=-3$.

Неравенство вида $\frac{A}{B} \le 0$, где $A \ge 0$, выполняется в двух случаях:

1. Дробь равна 0. Это возможно, когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от нуля. $A=0$.

$(x+1)^2 \sqrt{x+3} = 0$ при $x=-1$ или $x=-3$. Обе эти точки принадлежат ОДЗ и не обращают знаменатель в ноль. Следовательно, $x=-1$ и $x=-3$ являются решениями.

2. Дробь отрицательна. Это возможно, когда числитель положителен ($A > 0$), а знаменатель отрицателен ($B < 0$).

Числитель $(x+1)^2 \sqrt{x+3} > 0$ при $x > -3$ и $x \ne -1$.

Знаменатель $16 - x^2 < 0 \implies x^2 > 16 \implies x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение этих условий: нам нужны $x$, которые одновременно удовлетворяют ($x > -3$ и $x \ne -1$) и ($x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$).

Пересечение с интервалом $(-\infty, -4)$ пустое. Пересечение с интервалом $(4, \infty)$ дает $(4, \infty)$.

Итак, решениями для строгого неравенства являются $x \in (4, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\{-3, -1\} \cup (4, \infty)$.