Номер 42.22, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.22. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{a^{11}}$;3) $\sqrt[4]{162m^{10}n^{7}}$;5) $\sqrt[4]{-243y^{5}}$;

2) $\sqrt[3]{-b^{16}}$;4) $\sqrt[5]{96x^{12}y^{16}}$;6) $\sqrt[6]{a^{14}b^{9}}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{a^{11}}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, так как показатель корня $n=4$ — четный. Условие $a^{11} \ge 0$ выполняется при $a \ge 0$.

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны показателю корня 4. Степень $a^{11}$ можно записать как $a^{8+3} = a^8 \cdot a^3 = (a^2)^4 \cdot a^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[4]{a^{11}} = \sqrt[4]{a^8 \cdot a^3} = \sqrt[4]{(a^2)^4 \cdot a^3}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем:

$\sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{a^3}$.

Так как показатель корня четный, $\sqrt[4]{(a^2)^4} = |a^2|$. Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно, $|a^2| = a^2$.

В результате получаем: $a^2\sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $a^2\sqrt[4]{a^3}$.

2) В выражении $\sqrt[3]{-b^{16}}$ показатель корня $n=3$ — нечетный. Это означает, что подкоренное выражение может быть отрицательным, и знак "минус" можно вынести за знак корня.

$\sqrt[3]{-b^{16}} = \sqrt[3]{-1 \cdot b^{16}} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{b^{16}} = -\sqrt[3]{b^{16}}$.

Теперь упростим $\sqrt[3]{b^{16}}$. Представим степень $b^{16}$ как $b^{15+1} = b^{15} \cdot b = (b^5)^3 \cdot b$.

Подставляем в выражение:

$-\sqrt[3]{b^{16}} = -\sqrt[3]{(b^5)^3 \cdot b} = -(\sqrt[3]{(b^5)^3} \cdot \sqrt[3]{b})$.

Для нечетного показателя корня $\sqrt[n]{x^n}=x$, поэтому $\sqrt[3]{(b^5)^3} = b^5$.

Окончательный результат: $-b^5\sqrt[3]{b}$.

Ответ: $-b^5\sqrt[3]{b}$.

3) В выражении $\sqrt[4]{162m^{10}n^7}$ показатель корня $n=4$ — четный. Выражение имеет смысл при условии $162m^{10}n^7 \ge 0$. Поскольку $162>0$ и $m^{10} \ge 0$ для любого $m$, необходимо, чтобы $n^7 \ge 0$, то есть $n \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 4.

$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.

$m^{10} = m^8 \cdot m^2 = (m^2)^4 \cdot m^2$.

$n^7 = n^4 \cdot n^3$.

$\sqrt[4]{162m^{10}n^7} = \sqrt[4]{3^4 \cdot 2 \cdot (m^2)^4 \cdot m^2 \cdot n^4 \cdot n^3} = \sqrt[4]{(3 \cdot m^2 \cdot n)^4 \cdot (2m^2n^3)}$.

Выносим множитель из-под корня: $|3m^2n|\sqrt[4]{2m^2n^3}$.

Так как $m^2 \ge 0$ и по условию $n \ge 0$, то $3m^2n \ge 0$. Следовательно, $|3m^2n| = 3m^2n$.

Ответ: $3m^2n\sqrt[4]{2m^2n^3}$.

4) В выражении $\sqrt[5]{96x^{12}y^{16}}$ показатель корня $n=5$ — нечетный, поэтому выражение определено для любых значений переменных $x$ и $y$.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 5.

$96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$.

$x^{12} = x^{10} \cdot x^2 = (x^2)^5 \cdot x^2$.

$y^{16} = y^{15} \cdot y = (y^3)^5 \cdot y$.

$\sqrt[5]{96x^{12}y^{16}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3 \cdot (x^2)^5 \cdot x^2 \cdot (y^3)^5 \cdot y} = \sqrt[5]{(2x^2y^3)^5 \cdot (3x^2y)}$.

Выносим множитель из-под знака корня: $2x^2y^3\sqrt[5]{3x^2y}$.

Ответ: $2x^2y^3\sqrt[5]{3x^2y}$.

5) В выражении $\sqrt[4]{-243y^5}$ показатель корня $n=4$ — четный. Выражение определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $-243y^5 \ge 0$.

Так как $-243 < 0$, неравенство выполняется только при $y^5 \le 0$, что эквивалентно $y \le 0$.

Представим подкоренное выражение в виде, удобном для извлечения корня:

$-243y^5 = 81 \cdot (-3) \cdot y^4 \cdot y = 3^4 \cdot y^4 \cdot (-3y) = (3y)^4 \cdot (-3y)$.

$\sqrt[4]{-243y^5} = \sqrt[4]{(3y)^4 \cdot (-3y)} = \sqrt[4]{(3y)^4} \cdot \sqrt[4]{-3y} = |3y|\sqrt[4]{-3y}$.

Из условия $y \le 0$ следует, что $3y \le 0$, поэтому модуль $|3y|$ раскрывается как $-3y$.

Также, поскольку $y \le 0$, выражение под корнем $-3y \ge 0$, что является корректным.

Ответ: $-3y\sqrt[4]{-3y}$.

6) В выражении $\sqrt[6]{a^{14}b^9}$ показатель корня $n=6$ — четный. Выражение имеет смысл при $a^{14}b^9 \ge 0$.

Так как $a^{14} = (a^7)^2 \ge 0$ для любого $a$, то условие сводится к $b^9 \ge 0$, что означает $b \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 6.

$a^{14} = a^{12} \cdot a^2 = (a^2)^6 \cdot a^2$.

$b^9 = b^6 \cdot b^3$.

$\sqrt[6]{a^{14}b^9} = \sqrt[6]{a^{12}a^2b^6b^3} = \sqrt[6]{(a^{12}b^6) \cdot (a^2b^3)} = \sqrt[6]{(a^2b)^6 \cdot (a^2b^3)}$.

Выносим множитель: $|a^2b|\sqrt[6]{a^2b^3}$.

Поскольку $a^2 \ge 0$ и по условию $b \ge 0$, их произведение $a^2b \ge 0$. Следовательно, $|a^2b| = a^2b$.

Ответ: $a^2b\sqrt[6]{a^2b^3}$.