Номер 42.27, страница 320 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.27. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$;

2) $y = x^{-0.3}$;

3) $y = (x + 6)^{2.6}$;

4) $y = (x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{8}}$.

1) Область определения степенной функции $y = x^a$ зависит от показателя степени $a$. В данном случае, функция $y = x^{\frac{5}{6}}$. Показатель степени $a = \frac{5}{6}$ является положительным рациональным числом. Функцию можно представить в виде корня: $y = \sqrt[6]{x^5}$. Поскольку показатель корня (знаменатель дроби в показателе степени) равен 6, то есть является четным числом, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В данном случае, основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Таким образом, мы имеем условие: $x \ge 0$.
Ответ: $[0, +\infty)$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^{-0,3}$. Представим показатель степени в виде обыкновенной дроби: $a = -0,3 = -\frac{3}{10}$. Функция принимает вид: $y = x^{-\frac{3}{10}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{10}}} = \frac{1}{\sqrt[10]{x^3}}$. Для нахождения области определения необходимо учесть два условия:
1. Так как знаменатель показателя степени (10) — четное число, основание степени должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
2. Так как показатель степени отрицательный, выражение находится в знаменателе, который не может быть равен нулю. Следовательно, $x^{\frac{3}{10}} \neq 0$, что означает $x \neq 0$.
Объединяя эти два условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем строгое неравенство $x > 0$.
Ответ: $(0, +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $y = (x + 6)^{2,6}$. Представим показатель степени $a = 2,6$ в виде несократимой обыкновенной дроби: $a = 2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$. Таким образом, функцию можно записать как $y = (x+6)^{\frac{13}{5}} = \sqrt[5]{(x+6)^{13}}$. Знаменатель показателя степени (показатель корня) равен 5 — это нечетное число. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Следовательно, основание степени $(x+6)$ может быть любым действительным числом. Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

4) Рассмотрим функцию $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{8}}$. Это степенная функция, у которой основание — квадратный трехчлен $x^2 - 6x - 7$, а показатель степени $a = -\frac{1}{8}$ — отрицательное рациональное число. Поскольку показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю. Поскольку знаменатель показателя степени (8) — четное число, основание степени должно быть неотрицательным. Объединяя эти два требования, получаем, что основание степени должно быть строго положительным: $x^2 - 6x - 7 > 0$. Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 = 8^2$. $x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1$. $x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$. Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения квадратного трехчлена положительны при $x$, находящихся вне интервала между корнями. Решением неравенства $x^2 - 6x - 7 > 0$ является объединение интервалов $x < -1$ и $x > 7$.
Ответ: $(-\infty, -1) \cup (7, +\infty)$.