Номер 42.31, страница 321 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.31. Решите уравнение:

1) $\sqrt{4x+20} = x+2$;

2) $\sqrt{6-x} = 3x-4$;

3) $\sqrt{4+2x-x^2} = x-2$;

4) $\sqrt{2x^2-14x+13} = 5-x$;

5) $\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}} = x-1$;

6) $\sqrt{x+11} - \sqrt{3x+7} = 2$;

7) $\sqrt{1-2x}-3 = \sqrt{16+x}$;

8) $\sqrt{3-x} + \sqrt{x-2} = 1$;

9) $\sqrt{2x+5} + \sqrt{3-x} = 4$.

1) $\sqrt{4x + 20} = x + 2$

Для решения иррационального уравнения возведем обе части в квадрат. При этом необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4x + 20 \ge 0$, что дает $4x \ge -20$, то есть $x \ge -5$.
Во-вторых, правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -2$.

Возводим обе части уравнения в квадрат:$(\sqrt{4x + 20})^2 = (x + 2)^2$$4x + 20 = x^2 + 4x + 4$

Переносим все члены в одну сторону:$x^2 + 4x - 4x + 4 - 20 = 0$$x^2 - 16 = 0$$(x - 4)(x + 4) = 0$Получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -2$):
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge -2$).
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию ($-4 < -2$), поэтому является посторонним.

Ответ: 4.

2) $\sqrt{6 - x} = 3x - 4$

Определим ОДЗ:
1. $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.
2. $3x - 4 \ge 0 \implies 3x \ge 4 \implies x \ge \frac{4}{3}$.
ОДЗ: $\frac{4}{3} \le x \le 6$.

Возводим обе части в квадрат:$(\sqrt{6 - x})^2 = (3x - 4)^2$$6 - x = 9x^2 - 24x + 16$$9x^2 - 23x + 10 = 0$

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:$D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 529 - 360 = 169 = 13^2$$x_1 = \frac{23 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$$x_2 = \frac{23 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$

Проверяем корни по ОДЗ ($\frac{4}{3} \le x \le 6$):
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию ($\frac{4}{3} \approx 1.33$, поэтому $1.33 \le 2 \le 6$).
Корень $x_2 = \frac{5}{9}$ не удовлетворяет условию ($\frac{5}{9} < \frac{4}{3}$), является посторонним.

Ответ: 2.

3) $\sqrt{4 + 2x - x^2} = x - 2$

ОДЗ:
1. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
2. $4 + 2x - x^2 \ge 0 \implies x^2 - 2x - 4 \le 0$. Найдем корни $x^2 - 2x - 4 = 0$: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = 1 \pm \sqrt{5}$. Значит, $1 - \sqrt{5} \le x \le 1 + \sqrt{5}$.
Общее ОДЗ: $2 \le x \le 1 + \sqrt{5}$ (так как $1+\sqrt{5} \approx 3.24$).

Возводим в квадрат:$4 + 2x - x^2 = (x - 2)^2$$4 + 2x - x^2 = x^2 - 4x + 4$$2x^2 - 6x = 0$$2x(x - 3) = 0$Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$.

Проверяем по ОДЗ ($2 \le x \le 1 + \sqrt{5}$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($2 \le 3 \le 1 + \sqrt{5}$).

Ответ: 3.

4) $\sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x$

ОДЗ:
1. $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$.
2. $2x^2 - 14x + 13 \ge 0$. Корни $2x^2 - 14x + 13 = 0$: $x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 104}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{23}}{2}$. Неравенство выполняется при $x \le \frac{7 - \sqrt{23}}{2}$ или $x \ge \frac{7 + \sqrt{23}}{2}$.
Общее ОДЗ: $x \le \frac{7 - \sqrt{23}}{2}$ (так как $\frac{7 + \sqrt{23}}{2} \approx 5.9 > 5$).

Возводим в квадрат:$2x^2 - 14x + 13 = (5 - x)^2$$2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2$$x^2 - 4x - 12 = 0$По теореме Виета корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -2$.

Проверяем по ОДЗ ($x \le \frac{7 - \sqrt{23}}{2} \approx 1.1$):
$x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ ($-2 \le 1.1$).

Ответ: -2.

5) $\sqrt{1 - \sqrt{x^4 - x^2}} = x - 1$

ОДЗ:
1. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. $x^4 - x^2 \ge 0 \implies x^2(x^2-1) \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies x \ge 1$ или $x \le -1$. Вместе с п.1 получаем $x \ge 1$.
3. $1 - \sqrt{x^4 - x^2} \ge 0 \implies 1 \ge \sqrt{x^4 - x^2} \implies 1 \ge x^4 - x^2$. Пусть $y = x^2$. Тогда $y^2 - y - 1 \le 0$. Корни $y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так как $y \ge 0$, то $0 \le y \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Значит $0 \le x^2 \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, что вместе с $x \ge 1$ дает ОДЗ: $1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

Возводим в квадрат:$1 - \sqrt{x^4 - x^2} = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$$-\sqrt{x^4 - x^2} = x^2 - 2x$$\sqrt{x^4 - x^2} = 2x - x^2$Для второго возведения в квадрат нужно условие $2x - x^2 \ge 0 \implies x(2-x) \ge 0 \implies 0 \le x \le 2$. Это условие не сужает ОДЗ.
Возводим в квадрат еще раз:$x^4 - x^2 = (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4$$4x^3 - 5x^2 = 0$$x^2(4x - 5) = 0$Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{5}{4}$.

Проверяем по ОДЗ ($1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} \approx 1.27$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ.
$x_2 = \frac{5}{4} = 1.25$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

6) $\sqrt{x + 11} - \sqrt{3x + 7} = 2$

ОДЗ:
1. $x + 11 \ge 0 \implies x \ge -11$.
2. $3x + 7 \ge 0 \implies x \ge -\frac{7}{3}$.
Общее ОДЗ: $x \ge -\frac{7}{3}$.

Уединим один из корней и возведем в квадрат:$\sqrt{x + 11} = 2 + \sqrt{3x + 7}$$(\sqrt{x + 11})^2 = (2 + \sqrt{3x + 7})^2$$x + 11 = 4 + 4\sqrt{3x + 7} + (3x + 7)$$x + 11 = 3x + 11 + 4\sqrt{3x + 7}$$-2x = 4\sqrt{3x + 7}$$-x = 2\sqrt{3x + 7}$Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть такой же: $-x \ge 0 \implies x \le 0$. С учетом ОДЗ получаем $-\frac{7}{3} \le x \le 0$.
Возведем в квадрат еще раз:$(-x)^2 = (2\sqrt{3x + 7})^2$$x^2 = 4(3x + 7)$$x^2 = 12x + 28$$x^2 - 12x - 28 = 0$По теореме Виета корни: $x_1 = 14$, $x_2 = -2$.

Проверяем по условию $-\frac{7}{3} \le x \le 0$:
$x_1 = 14$ не удовлетворяет.
$x_2 = -2$ удовлетворяет.

Ответ: -2.

7) $\sqrt{1 - 2x} - 3 = \sqrt{16 + x}$

ОДЗ:
1. $1 - 2x \ge 0 \implies x \le \frac{1}{2}$.
2. $16 + x \ge 0 \implies x \ge -16$.
Общее ОДЗ: $-16 \le x \le \frac{1}{2}$.
Также, $\sqrt{1 - 2x} - 3 \ge 0 \implies \sqrt{1 - 2x} \ge 3 \implies 1 - 2x \ge 9 \implies -8 \ge 2x \implies x \le -4$.Итоговое ОДЗ для решения: $-16 \le x \le -4$.

Перенесем -3 вправо и возведем в квадрат:$\sqrt{1 - 2x} = \sqrt{16 + x} + 3$$1 - 2x = (16 + x) + 6\sqrt{16 + x} + 9$$1 - 2x = x + 25 + 6\sqrt{16 + x}$$-3x - 24 = 6\sqrt{16 + x}$$-x - 8 = 2\sqrt{16 + x}$Условие $-x - 8 \ge 0 \implies x \le -8$ не сужает ОДЗ.
Возводим в квадрат:$(-x - 8)^2 = (2\sqrt{16 + x})^2$$x^2 + 16x + 64 = 4(16 + x)$$x^2 + 16x + 64 = 64 + 4x$$x^2 + 12x = 0$$x(x + 12) = 0$Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -12$.

Проверяем по ОДЗ ($-16 \le x \le -4$):
$x_1 = 0$ не удовлетворяет.
$x_2 = -12$ удовлетворяет.

Ответ: -12.

8) $\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 2} = 1$

ОДЗ:
1. $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.
2. $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Общее ОДЗ: $2 \le x \le 3$.

Возведем в квадрат:$(\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 2})^2 = 1^2$$(3 - x) + 2\sqrt{(3-x)(x-2)} + (x - 2) = 1$$1 + 2\sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 1$$2\sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 0$$\sqrt{-x^2 + 5x - 6} = 0$$-x^2 + 5x - 6 = 0$$x^2 - 5x + 6 = 0$По теореме Виета корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($[2, 3]$). Проверим подстановкой:
При $x=2$: $\sqrt{3-2} + \sqrt{2-2} = \sqrt{1} + 0 = 1$. Верно.
При $x=3$: $\sqrt{3-3} + \sqrt{3-2} = 0 + \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: 2; 3.

9) $\sqrt{2x + 5} + \sqrt{3 - x} = 4$

ОДЗ:
1. $2x + 5 \ge 0 \implies x \ge -2.5$.
2. $3 - x \ge 0 \implies x \le 3$.
Общее ОДЗ: $-2.5 \le x \le 3$.

Уединим один корень и возведем в квадрат:$\sqrt{2x + 5} = 4 - \sqrt{3 - x}$$2x + 5 = (4 - \sqrt{3 - x})^2$$2x + 5 = 16 - 8\sqrt{3 - x} + (3 - x)$$2x + 5 = 19 - x - 8\sqrt{3 - x}$$3x - 14 = -8\sqrt{3 - x}$$14 - 3x = 8\sqrt{3 - x}$Условие $14 - 3x \ge 0 \implies 3x \le 14 \implies x \le \frac{14}{3} \approx 4.67$. ОДЗ не меняется.
Возводим в квадрат:$(14 - 3x)^2 = (8\sqrt{3 - x})^2$$196 - 84x + 9x^2 = 64(3 - x)$$196 - 84x + 9x^2 = 192 - 64x$$9x^2 - 20x + 4 = 0$

Решаем квадратное уравнение:$D = (-20)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 400 - 144 = 256 = 16^2$$x_1 = \frac{20 + 16}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$$x_2 = \frac{20 - 16}{2 \cdot 9} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$

Оба корня $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{2}{9}$ принадлежат ОДЗ ($-2.5 \le x \le 3$). Проверкой убеждаемся, что оба являются решениями.

Ответ: $\frac{2}{9}$; 2.