gdz.top
Номер 42.33, страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 42. Упражнения для повторения курса алгебры и начал математического анализа 10 класса - номер 42.33, страница 322.
№42.32
№42.33 (с. 322)
Условие. №42.33 (с. 322)
42.33. При каких значениях $a$ возможно равенство:
1) $ \cos x = a + 4 $;
2) $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $?
Решение 1. №42.33 (с. 322)
Решение 2. №42.33 (с. 322)
Решение 3. №42.33 (с. 322)
Решение 5. №42.33 (с. 322)
1) Данное равенство $ \cos x = a + 4 $ возможно, если значение выражения $ a + 4 $ принадлежит области значений функции косинус. Область значений функции $ y = \cos x $ — это отрезок $ [-1; 1] $. Следовательно, должно выполняться двойное неравенство:
$ -1 \le a + 4 \le 1 $
Чтобы найти значения $ a $, решим это неравенство. Вычтем 4 из всех частей неравенства:
$ -1 - 4 \le a \le 1 - 4 $
$ -5 \le a \le -3 $
Таким образом, равенство возможно, если $ a $ принадлежит отрезку от -5 до -3 включительно.
Ответ: $ a \in [-5; -3] $.
2) Равенство $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $ возможно, если правая часть принадлежит области значений функции синус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.
Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:
$ -1 \le 6a - a^2 - 10 \le 1 $
Преобразуем квадратичный трехчлен в правой части, выделив полный квадрат:
$ 6a - a^2 - 10 = -(a^2 - 6a + 10) = -(a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 10) = -((a-3)^2 + 1) = -(a-3)^2 - 1 $
Теперь наше неравенство выглядит так:
$ -1 \le -(a-3)^2 - 1 \le 1 $
Рассмотрим выражение $ -(a-3)^2 - 1 $. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $ (a-3)^2 \ge 0 $. Тогда $ -(a-3)^2 \le 0 $.
Следовательно, $ -(a-3)^2 - 1 \le -1 $ для любых значений $ a $.
Из этого следует, что наше двойное неравенство $ -1 \le -(a-3)^2 - 1 \le 1 $ может выполняться только в том случае, если выражение $ -(a-3)^2 - 1 $ равно $ -1 $.
Решим уравнение:
$ -(a-3)^2 - 1 = -1 $
$ -(a-3)^2 = 0 $
$ (a-3)^2 = 0 $
$ a-3 = 0 $
$ a = 3 $
При $ a=3 $ исходное уравнение принимает вид $ \sin x = -1 $, что возможно (например, при $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $).
Ответ: $ a = 3 $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 42.33 расположенного на странице 322 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №42.33 (с. 322), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.