Страница 322 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

42.32. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 = 0;$

2) $\sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 18;$

3) $\sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} + 2\sqrt[3]{x - 2} - 3 = 0;$

4) $\frac{4 - x}{2 + \sqrt{x}} = 8 - x;$

5) $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 3}} - 6\sqrt{\frac{x - 3}{x + 3}} + 1 = 0;$

6) $\sqrt{\frac{x}{1 + x}} + \sqrt{\frac{1 + x}{x}} = \frac{5}{2};$

7) $x^2 - 4x - \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 3;$

8) $5\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 2x^2 + 6x + 1.$

1) $ \sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} - 5 = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}$. Так как корень четной степени не может быть отрицательным, $t \ge 0$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$ t^2 - 4t - 5 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается $t = 5$.

Вернемся к исходной переменной:

$ \sqrt[4]{x} = 5 $

Возведем обе части в четвертую степень:

$ x = 5^4 = 625 $

Корень $x = 625$ удовлетворяет ОДЗ ($625 \ge 0$).

Ответ: $625$.

2) $ \sqrt[3]{x} + 3\sqrt[6]{x} = 18 $

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Тогда $t^2 = (\sqrt[6]{x})^2 = \sqrt[3]{x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$ t^2 + 3t = 18 $

$ t^2 + 3t - 18 = 0 $

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81$.

Корни: $t_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-3+9}{2} = 3$ и $t_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-3-9}{2} = -6$.

По условию $t \ge 0$, поэтому корень $t_2 = -6$ не подходит.

Выполним обратную замену для $t = 3$:

$ \sqrt[6]{x} = 3 $

$ x = 3^6 = 729 $

Корень $x = 729$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $729$.

3) $ \sqrt[3]{x^2 - 4x + 4} + 2\sqrt[3]{x-2} - 3 = 0 $

Так как кубический корень определен для любых действительных чисел, ОДЗ - все действительные числа.

Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Перепишем уравнение:

$ \sqrt[3]{(x-2)^2} + 2\sqrt[3]{x-2} - 3 = 0 $

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{x-2}$. Тогда $t^2 = \sqrt[3]{(x-2)^2}$.

Уравнение примет вид:

$ t^2 + 2t - 3 = 0 $

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Вернемся к переменной $x$ для каждого корня.

1. $ \sqrt[3]{x-2} = 1 \implies x-2 = 1^3 \implies x-2 = 1 \implies x = 3 $.

2. $ \sqrt[3]{x-2} = -3 \implies x-2 = (-3)^3 \implies x-2 = -27 \implies x = -25 $.

Ответ: $-25; 3$.

4) $ \frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x $

ОДЗ: $x \ge 0$. Знаменатель $2+\sqrt{x} \ne 0$ всегда, так как $\sqrt{x} \ge 0$.

Разложим числитель $4-x$ как разность квадратов: $4-x = (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})$.

$ \frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}} = 8-x $

Сократим дробь:

$ 2-\sqrt{x} = 8-x $

$ x - \sqrt{x} - 6 = 0 $

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.

$ t^2 - t - 6 = 0 $

Корни по теореме Виета: $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t = 3$.

$ \sqrt{x} = 3 \implies x = 3^2 = 9 $

Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $9$.

5) $ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} - 6\sqrt{\frac{x-3}{x+3}} + 1 = 0 $

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели не равны нулю. Это приводит к системе неравенств $\frac{x+3}{x-3} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x+3}{x-3}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-3}{x+3}} = \frac{1}{t}$. Так как $t$ - это значение корня, $t > 0$.

$ t - \frac{6}{t} + 1 = 0 $

Умножим на $t \ne 0$:

$ t^2 + t - 6 = 0 $

Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Так как $t>0$, подходит только $t=2$.

$ \sqrt{\frac{x+3}{x-3}} = 2 $

$ \frac{x+3}{x-3} = 4 $

$ x+3 = 4(x-3) \implies x+3 = 4x - 12 \implies 3x = 15 \implies x = 5 $

Проверим ОДЗ: $5 \in (3, \infty)$, корень подходит.

Ответ: $5$.

6) $ \sqrt{\frac{x}{1+x}} + \sqrt{\frac{1+x}{x}} = \frac{5}{2} $

ОДЗ: $\frac{x}{1+x} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{1+x}}$, где $t > 0$.

$ t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} $

Умножим на $2t \ne 0$:

$ 2t^2 + 2 = 5t \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0 $

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$.

Корни: $t_1 = \frac{5+3}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$. Оба корня положительны.

1. $ \sqrt{\frac{x}{1+x}} = 2 \implies \frac{x}{1+x} = 4 \implies x = 4+4x \implies -3x = 4 \implies x = -\frac{4}{3} $.

2. $ \sqrt{\frac{x}{1+x}} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{1+x} = \frac{1}{4} \implies 4x = 1+x \implies 3x = 1 \implies x = \frac{1}{3} $.

Оба корня ($-\frac{4}{3}$ и $\frac{1}{3}$) принадлежат ОДЗ.

Ответ: $-\frac{4}{3}; \frac{1}{3}$.

7) $ x^2 - 4x - \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 3 $

ОДЗ: $x^2 - 4x - 1 \ge 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 - 4x - 1}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 - 4x - 1$, откуда $x^2 - 4x = t^2 + 1$.

Подставим в уравнение:

$ (t^2+1) - t = 3 \implies t^2 - t - 2 = 0 $

Корни: $t_1=2$ и $t_2=-1$.

По условию $t \ge 0$, подходит только $t=2$.

$ \sqrt{x^2 - 4x - 1} = 2 $

$ x^2 - 4x - 1 = 4 \implies x^2 - 4x - 5 = 0 $

Корни: $x_1=5$ и $x_2=-1$.

Проверим ОДЗ:

Для $x=5$: $5^2 - 4(5) - 1 = 25 - 20 - 1 = 4 \ge 0$. Подходит.

Для $x=-1$: $(-1)^2 - 4(-1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4 \ge 0$. Подходит.

Ответ: $-1; 5$.

8) $ 5\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 2x^2 + 6x + 1 $

ОДЗ: $x^2 + 3x - 1 \ge 0$.

Преобразуем правую часть: $2x^2 + 6x + 1 = 2(x^2 + 3x) + 1$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 3x - 1}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 3x - 1$, откуда $x^2 + 3x = t^2 + 1$.

Подставим в уравнение:

$ 5t = 2(t^2+1) + 1 \implies 5t = 2t^2 + 2 + 1 \implies 2t^2 - 5t + 3 = 0 $

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$.

Корни: $t_1 = \frac{5+1}{4} = \frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{5-1}{4} = 1$. Оба корня положительны.

1. $ \sqrt{x^2 + 3x - 1} = \frac{3}{2} \implies x^2 + 3x - 1 = \frac{9}{4} \implies 4x^2 + 12x - 4 = 9 \implies 4x^2 + 12x - 13 = 0 $.

$ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(4)(-13)}}{8} = \frac{-12 \pm \sqrt{144+208}}{8} = \frac{-12 \pm \sqrt{352}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{22}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2} $.

2. $ \sqrt{x^2 + 3x - 1} = 1 \implies x^2 + 3x - 1 = 1 \implies x^2 + 3x - 2 = 0 $.

$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} $.

Все четыре найденных значения являются решениями, так как для них выполняется условие $x^2 + 3x - 1 \ge 0$.

Ответ: $\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}; \frac{-3 \pm \sqrt{22}}{2}$.

42.33. При каких значениях $a$ возможно равенство:

1) $ \cos x = a + 4 $;

2) $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $?

1) Данное равенство $ \cos x = a + 4 $ возможно, если значение выражения $ a + 4 $ принадлежит области значений функции косинус. Область значений функции $ y = \cos x $ — это отрезок $ [-1; 1] $. Следовательно, должно выполняться двойное неравенство:

$ -1 \le a + 4 \le 1 $

Чтобы найти значения $ a $, решим это неравенство. Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$ -1 - 4 \le a \le 1 - 4 $

$ -5 \le a \le -3 $

Таким образом, равенство возможно, если $ a $ принадлежит отрезку от -5 до -3 включительно.

Ответ: $ a \in [-5; -3] $.

2) Равенство $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $ возможно, если правая часть принадлежит области значений функции синус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.

Это означает, что должно выполняться двойное неравенство:

$ -1 \le 6a - a^2 - 10 \le 1 $

Преобразуем квадратичный трехчлен в правой части, выделив полный квадрат:

$ 6a - a^2 - 10 = -(a^2 - 6a + 10) = -(a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 10) = -((a-3)^2 + 1) = -(a-3)^2 - 1 $

Теперь наше неравенство выглядит так:

$ -1 \le -(a-3)^2 - 1 \le 1 $

Рассмотрим выражение $ -(a-3)^2 - 1 $. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $ (a-3)^2 \ge 0 $. Тогда $ -(a-3)^2 \le 0 $.

Следовательно, $ -(a-3)^2 - 1 \le -1 $ для любых значений $ a $.

Из этого следует, что наше двойное неравенство $ -1 \le -(a-3)^2 - 1 \le 1 $ может выполняться только в том случае, если выражение $ -(a-3)^2 - 1 $ равно $ -1 $.

Решим уравнение:

$ -(a-3)^2 - 1 = -1 $

$ -(a-3)^2 = 0 $

$ (a-3)^2 = 0 $

$ a-3 = 0 $

$ a = 3 $

При $ a=3 $ исходное уравнение принимает вид $ \sin x = -1 $, что возможно (например, при $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $).

Ответ: $ a = 3 $.

42.34. Сравните с нулём значение выражения:

1) $ \sin 168^\circ \cos 126^\circ $

2) $ \operatorname{tg} 206^\circ \cos (-223^\circ) $

3) $ \cos 4 \operatorname{tg} 3 $

1) Чтобы сравнить значение выражения $\sin 168^\circ \cos 126^\circ$ с нулём, необходимо определить знаки каждого из множителей.

Угол $168^\circ$ находится во второй тригонометрической четверти ($90^\circ < 168^\circ < 180^\circ$). Значение синуса во второй четверти положительно, следовательно, $\sin 168^\circ > 0$.

Угол $126^\circ$ также находится во второй четверти ($90^\circ < 126^\circ < 180^\circ$). Значение косинуса во второй четверти отрицательно, следовательно, $\cos 126^\circ < 0$.

Произведение положительного числа ($\sin 168^\circ$) и отрицательного числа ($\cos 126^\circ$) является отрицательным числом.

Таким образом, $\sin 168^\circ \cos 126^\circ < 0$.

Ответ: $\sin 168^\circ \cos 126^\circ < 0$.

2) Сравним с нулём значение выражения $\tg 206^\circ \cos(-223^\circ)$, определив знаки множителей.

Угол $206^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 206^\circ < 270^\circ$). Тангенс в третьей четверти положителен, поэтому $\tg 206^\circ > 0$.

Функция косинуса является чётной, что означает $\cos(-x) = \cos(x)$. Следовательно, $\cos(-223^\circ) = \cos(223^\circ)$. Угол $223^\circ$ находится в третьей четверти ($180^\circ < 223^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен. Таким образом, $\cos(-223^\circ) < 0$.

Произведение положительного числа ($\tg 206^\circ$) и отрицательного числа ($\cos(-223^\circ)$) является отрицательным.

Следовательно, $\tg 206^\circ \cos(-223^\circ) < 0$.

Ответ: $\tg 206^\circ \cos(-223^\circ) < 0$.

3) Сравним с нулём значение выражения $\cos 4 \tg 3$. Поскольку у аргументов тригонометрических функций не указан знак градуса, они выражены в радианах. Для определения знаков воспользуемся приближённым значением числа $\pi \approx 3,14$.

Определим четверть для угла 4 радиана. Границы четвертей в радианах: $\pi/2 \approx 1,57$, $\pi \approx 3,14$, $3\pi/2 \approx 4,71$. Поскольку выполняется неравенство $\pi < 4 < 3\pi/2$ ($3,14 < 4 < 4,71$), угол 4 радиана находится в третьей четверти. Косинус в этой четверти отрицателен, значит $\cos 4 < 0$.

Определим четверть для угла 3 радиана. Поскольку выполняется неравенство $\pi/2 < 3 < \pi$ ($1,57 < 3 < 3,14$), угол 3 радиана находится во второй четверти. Тангенс в этой четверти отрицателен, значит $\tg 3 < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел ($\cos 4$ и $\tg 3$) является положительным числом.

Таким образом, $\cos 4 \tg 3 > 0$.

Ответ: $\cos 4 \tg 3 > 0$.

42.35. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 780^\circ $;

2) $ \operatorname{tg} 900^\circ $;

3) $ \cos 1200^\circ $;

4) $ \operatorname{ctg} (-585^\circ) $;

5) $ \cos \frac{11\pi}{6} $;

6) $ \sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right) $.

1) Для нахождения значения $\sin 780^\circ$ воспользуемся периодичностью функции синус. Период синуса равен $360^\circ$, поэтому значение функции не изменится, если из ее аргумента вычесть целое число полных оборотов.

Представим $780^\circ$ в виде суммы: $780^\circ = 720^\circ + 60^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 60^\circ$.

Тогда: $\sin 780^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ$.

Значение $\sin 60^\circ$ является табличным:

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Для нахождения значения $\tg 900^\circ$ воспользуемся периодичностью функции тангенс. Период тангенса равен $180^\circ$.

Представим $900^\circ$ как кратное $180^\circ$: $900^\circ = 5 \cdot 180^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 0^\circ$.

Тогда: $\tg 900^\circ = \tg(5 \cdot 180^\circ + 0^\circ) = \tg 0^\circ$.

Значение $\tg 0^\circ$ равно 0.

Ответ: 0.

3) Для нахождения значения $\cos 1200^\circ$ воспользуемся периодичностью функции косинус. Период косинуса равен $360^\circ$.

Выделим целое число полных оборотов в угле $1200^\circ$: $1200^\circ = 1080^\circ + 120^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 120^\circ$.

Следовательно: $\cos 1200^\circ = \cos(3 \cdot 360^\circ + 120^\circ) = \cos 120^\circ$.

Для вычисления $\cos 120^\circ$ используем формулу приведения: $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

4) Для нахождения значения $\ctg (-585^\circ)$ используем свойство нечетности котангенса ($\ctg(-x) = -\ctg(x)$) и его периодичность (период равен $180^\circ$).

$\ctg(-585^\circ) = -\ctg(585^\circ)$.

Теперь упростим $\ctg(585^\circ)$. Выделим целое число периодов: $585^\circ = 540^\circ + 45^\circ = 3 \cdot 180^\circ + 45^\circ$.

$\ctg(585^\circ) = \ctg(3 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \ctg(45^\circ) = 1$.

Следовательно: $\ctg(-585^\circ) = -1$.

Ответ: -1.

5) Для нахождения значения $\cos \frac{11\pi}{6}$ используем формулы приведения. Период косинуса равен $2\pi$.

Представим угол $\frac{11\pi}{6}$ в удобном виде:

$\frac{11\pi}{6} = \frac{12\pi - \pi}{6} = 2\pi - \frac{\pi}{6}$.

Теперь вычислим значение косинуса:

$\cos \frac{11\pi}{6} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6})$.

Так как $\cos(2\pi - x) = \cos x$, получаем:

$\cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6) Для нахождения значения $\sin \left(-\frac{17\pi}{3}\right)$ воспользуемся свойством нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin(x)$) и его периодичностью (период равен $2\pi$).

Можно пойти двумя путями. Первый путь - использовать периодичность, чтобы привести аргумент к углу в пределах от 0 до $2\pi$.

$2\pi = \frac{6\pi}{3}$. Найдем, сколько периодов нужно добавить: $3 \cdot 2\pi = 6\pi = \frac{18\pi}{3}$.

$\sin\left(-\frac{17\pi}{3}\right) = \sin\left(-\frac{17\pi}{3} + \frac{18\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Значение синуса для $\frac{\pi}{3}$ является табличным:

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

42.36. Покажите, что число $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Для того чтобы доказать, что число $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \tan x$, необходимо показать, что не выполняется определение периода функции.

Согласно определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняются два условия:

1. Числа $x+T$ и $x-T$ также принадлежат области определения $D(f)$.
2. Выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то $T$ не является периодом. Проверим, выполняется ли первое условие.

Область определения функции $f(x) = \tan x$ — это все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число.

Выберем точку $x_0$, принадлежащую области определения, например, $x_0 = \pi$. В этой точке функция существует, так как $f(\pi) = \tan(\pi) = 0$.

Теперь проверим, принадлежит ли точка $x_0 + T$ области определения.

$x_0 + T = \pi + (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$.

Точка $x = \frac{\pi}{2}$ не входит в область определения функции $\tan x$, так как в этой точке тангенс не определен.

Поскольку мы нашли значение $x_0 = \pi$ из области определения, для которого значение $x_0 + T$ не принадлежит области определения, первое условие периодичности нарушается. Одного этого факта достаточно, чтобы утверждать, что $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \tan x$.

Для полноты решения можно также проверить и второе условие. Если предположить, что оно выполняется, то для всех $x$, где обе части определены, должно быть верно равенство $f(x+T) = f(x)$, то есть $\tan(x - \frac{\pi}{2}) = \tan x$.

Используя формулы приведения, преобразуем левую часть: $\tan(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$.

Тогда равенство принимает вид $-\cot x = \tan x$. Переходя к синусам и косинусам, получаем $-\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x}$, что приводит к равенству $-\cos^2 x = \sin^2 x$, или $\sin^2 x + \cos^2 x = 0$.

Это равенство противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется ни при каких значениях $x$, из чего также следует, что $T$ не является периодом.

Ответ: Число $T = -\frac{\pi}{2}$ не является периодом функции $f(x) = \tan x$, так как для $x = \pi$, принадлежащего области определения, значение $x+T = \frac{\pi}{2}$ не принадлежит области определения, что нарушает определение периода функции.

42.37. Постройте график функции:

1) $y = \sin x + 2$;

2) $y = \cos x - 1$;

3) $y = \sin 3x$;

4) $y = \cos \frac{x}{2}$;

5) $y = -\frac{1}{2} \sin x$;

6) $y = 1,5 \cos x$.

1) $y = \sin x + 2$;

Для построения графика функции $y = \sin x + 2$ необходимо выполнить преобразование графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Сначала строим график функции $y = \sin x$. Это стандартная синусоида, которая проходит через начало координат, имеет период $T=2\pi$ и амплитуду $A=1$. Её значения лежат в пределах от $-1$ до $1$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$, $(\pi, 0)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 0)$.
2. Затем выполняем параллельный перенос (сдвиг) построенного графика вдоль оси ординат (оси OY) на 2 единицы вверх. Это преобразование соответствует прибавлению константы 2 к значению функции.
В результате каждая точка графика $y = \sin x$ смещается на 2 единицы вверх.
Новые ключевые точки: $(0, 0+2)=(0, 2)$, $(\frac{\pi}{2}, 1+2)=(\frac{\pi}{2}, 3)$, $(\pi, 0+2)=(\pi, 2)$, $(\frac{3\pi}{2}, -1+2)=(\frac{3\pi}{2}, 1)$, $(2\pi, 0+2)=(2\pi, 2)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1+2, 1+2] = [1, 3]$. Период и амплитуда останутся прежними.

Ответ: График функции $y = \sin x + 2$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем его сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

2) $y = \cos x - 1$;

Для построения графика функции $y = \cos x - 1$ используется преобразование графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Сначала строим график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$ и амплитудой $A=1$. Её значения лежат в пределах от $-1$ до $1$. Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.
2. Затем выполняем параллельный перенос графика вдоль оси ординат (оси OY) на 1 единицу вниз. Это преобразование соответствует вычитанию константы 1 из значения функции.
Каждая точка графика $y = \cos x$ смещается на 1 единицу вниз.
Новые ключевые точки: $(0, 1-1)=(0, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 0-1)=(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\pi, -1-1)=(\pi, -2)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0-1)=(\frac{3\pi}{2}, -1)$, $(2\pi, 1-1)=(2\pi, 0)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1-1, 1-1] = [-2, 0]$. Период и амплитуда останутся прежними.

Ответ: График функции $y = \cos x - 1$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

3) $y = \sin 3x$;

Для построения графика функции $y = \sin 3x$ используется преобразование графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Строим график функции $y = \sin x$ с периодом $T=2\pi$.
2. Выполняем сжатие графика к оси ординат (оси OY) в 3 раза. Множитель 3 при аргументе $x$ изменяет период функции. Новый период $T_1$ вычисляется по формуле $T_1 = \frac{T}{|k|}$, где $T$ - период исходной функции, а $k$ - коэффициент при $x$.
В нашем случае $k=3$, поэтому новый период $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.
Это означает, что на отрезке $[0, 2\pi]$ теперь укладывается три полных волны синусоиды вместо одной. Амплитуда и область значений $[-1, 1]$ не изменяются.
Ключевые точки (нули, максимумы, минимумы) теперь располагаются в 3 раза ближе к оси OY. Например, первый максимум будет в точке $x = \frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6}$, а конец первого периода в $x = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: График функции $y = \sin 3x$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем сжатия его в 3 раза вдоль оси OX. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$.

4) $y = \cos \frac{x}{2}$;

Для построения графика функции $y = \cos \frac{x}{2}$ используется преобразование графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Строим график функции $y = \cos x$ с периодом $T=2\pi$.
2. Выполняем растяжение графика от оси ординат (оси OY). Коэффициент при $x$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Новый период $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
Это означает, что график "растягивается" в 2 раза вдоль оси абсцисс. Амплитуда и область значений $[-1, 1]$ не изменяются.
Ключевые точки теперь располагаются в 2 раза дальше от оси OY. Например, первый ноль будет в точке $x = \frac{\pi}{2} \cdot 2 = \pi$, первый минимум в $x = \pi \cdot 2 = 2\pi$, а конец первого периода в $x = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{2}$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем растяжения его в 2 раза вдоль оси OX. Период функции равен $4\pi$.

5) $y = -\frac{1}{2}\sin x$;

Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ используется два преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.
1. Сначала строим график функции $y = \sin x$.
2. Выполняем сжатие графика к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза. Это соответствует умножению функции на коэффициент $\frac{1}{2}$. Амплитуда уменьшается с 1 до $\frac{1}{2}$. Область значений становится $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$. График промежуточной функции $y = \frac{1}{2}\sin x$ колеблется между $-\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$.
3. Затем выполняем симметричное отражение полученного графика относительно оси абсцисс (оси OX). Это соответствует умножению функции на $-1$.
Таким образом, максимумы становятся минимумами, а минимумы - максимумами. Например, точка $(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2})$ на графике $y = \frac{1}{2}\sin x$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, -\frac{1}{2})$ на графике $y = -\frac{1}{2}\sin x$. Период $T=2\pi$ не изменяется.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{2}\sin x$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия его в 2 раза вдоль оси OY и последующего зеркального отражения относительно оси OX.

6) $y = 1,5\cos x$;

Для построения графика функции $y = 1,5\cos x$ используется преобразование графика базовой функции $y = \cos x$.
1. Сначала строим график функции $y = \cos x$ с амплитудой $A=1$.
2. Выполняем растяжение графика от оси абсцисс (оси OX) в 1,5 раза. Это соответствует умножению всех значений функции $y = \cos x$ на 1,5.
Новая амплитуда будет равна $A_1 = 1,5$. Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-1,5, 1,5]$.
Ключевые точки: максимум в $x=0$ будет равен $y=1,5$; минимум в $x=\pi$ будет равен $y=-1,5$. Нули функции (точки пересечения с осью OX) останутся теми же: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Период $T=2\pi$ не изменяется.

Ответ: График функции $y = 1,5\cos x$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем его растяжения в 1,5 раза вдоль оси OY.

42.38. Вычислите:

1) ctg $\alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{5}{\sqrt{34}}$, $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

2) $\sin \alpha$, если $\text{tg } \alpha = 3$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$.

1) ctg α, если sin α = -5/√34, 3π/2 < α < 2π;

Угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, что соответствует IV четверти. В этой четверти косинус положителен ($\cos\alpha > 0$), а синус отрицателен ($\sin\alpha < 0$). Котангенс, как отношение косинуса к синусу, в IV четверти отрицателен ($\ctg\alpha < 0$).

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим синус и котангенс: $1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Подставим известное значение $\sin\alpha$: $\sin^2\alpha = \left(-\frac{5}{\sqrt{34}}\right)^2 = \frac{25}{34}$

Теперь найдем квадрат котангенса: $\ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} - 1 = \frac{1}{25/34} - 1 = \frac{34}{25} - 1 = \frac{34 - 25}{25} = \frac{9}{25}$

Отсюда $\ctg\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5}$.

Так как угол $\alpha$ принадлежит IV четверти, значение котангенса должно быть отрицательным. Следовательно, выбираем знак минус. $\ctg\alpha = -\frac{3}{5}$

Ответ: $-\frac{3}{5}$

2) sin α, если tg α = 3, π < α < 3π/2.

Угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует III четверти. В этой четверти и синус, и косинус отрицательны ($\sin\alpha < 0$ и $\cos\alpha < 0$). Тангенс, как их отношение, положителен, что соответствует условию.

Воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и синус. Для этого сначала найдем котангенс: $\ctg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha} = \frac{1}{3}$

Теперь используем тождество $1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$: $1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

$\frac{1}{\sin^2\alpha} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$

Отсюда находим квадрат синуса: $\sin^2\alpha = \frac{9}{10}$

Извлекаем корень: $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{9}{10}} = \pm\frac{3}{\sqrt{10}}$.

Поскольку угол $\alpha$ находится в III четверти, его синус отрицателен. Поэтому выбираем знак минус. $\sin\alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}$

Ответ: $-\frac{3}{\sqrt{10}}$

42.39. Упростите выражение:

1) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^4 \alpha;$

3) $(\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha;$

4) $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha}.$

1) Исходное выражение: $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \operatorname{tg} \alpha$.
Заменим $\operatorname{tg} \alpha$ на отношение $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ (при условии, что $\cos \alpha \neq 0$):
$\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \sin^3 \alpha + \cos^2 \alpha \sin \alpha$.
Вынесем общий множитель $\sin \alpha$ за скобки:
$\sin \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$.
Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:
$\sin \alpha \cdot 1 = \sin \alpha$.

Ответ: $\sin \alpha$.

2) Исходное выражение: $\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha \sin^4 \alpha$.
Заменим $\operatorname{ctg}^2 \alpha$ на $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ (при условии, что $\sin \alpha \neq 0$):
$\cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \sin^4 \alpha = \cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha$.
Вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки:
$\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)$.
Используя основное тригонометрическое тождество, заменим $1 - \sin^2 \alpha$ на $\cos^2 \alpha$:
$\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \cos^4 \alpha$.

Ответ: $\cos^4 \alpha$.

3) Исходное выражение: $(\sin^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \alpha \sin^2 \alpha) \operatorname{ctg} \alpha$.
Внутри скобок вынесем общий множитель $\sin^2 \alpha$:
$(\sin^2 \alpha (1 + \operatorname{tg}^2 \alpha)) \operatorname{ctg} \alpha$.
Используем тождество $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ (при $\cos \alpha \neq 0$):
$(\sin^2 \alpha \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}) \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \operatorname{ctg} \alpha$.
Заменим $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ на $\operatorname{tg}^2 \alpha$ и используем тождество $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$):
$\operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$.

Ответ: $\operatorname{tg} \alpha$.

4) Исходное выражение: $\frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha \cos \alpha - \operatorname{ctg} \alpha}$.
Сначала упростим числитель. Раскроем квадрат суммы: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получим: $1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Тогда числитель равен: $1 - (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha \cos \alpha$.
Теперь упростим знаменатель. Заменим $\operatorname{ctg} \alpha$ на $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ (при $\sin \alpha \neq 0$):
$\sin \alpha \cos \alpha - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha (\sin^2 \alpha - 1)}{\sin \alpha}$.
Используя следствие из основного тождества $\sin^2 \alpha - 1 = -\cos^2 \alpha$, получим: $\frac{\cos \alpha (-\cos^2 \alpha)}{\sin \alpha} = -\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}$.
Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:
$\frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{-\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} = (-2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \left(-\frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}\right) = \frac{2 \sin^2 \alpha \cos \alpha}{\cos^3 \alpha}$.
Сократим дробь на $\cos \alpha$ (при $\cos \alpha \neq 0$):
$\frac{2 \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 2 \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^2 = 2 \operatorname{tg}^2 \alpha$.

Ответ: $2 \operatorname{tg}^2 \alpha$.

42.40. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $2\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$;

2) $4\cos^2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$.

1) Рассмотрим выражение $2\cos^2\alpha - 3\sin^2\alpha$.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выразим $\sin^2\alpha$ через $\cos^2\alpha$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.
Подставим это в исходное выражение:
$2\cos^2\alpha - 3(1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 3 + 3\cos^2\alpha = 5\cos^2\alpha - 3$.
Теперь нам нужно найти область значений выражения $5\cos^2\alpha - 3$. Мы знаем, что значения функции косинус лежат в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos\alpha \le 1$.
Следовательно, значения $\cos^2\alpha$ лежат в пределах от 0 до 1:
$0 \le \cos^2\alpha \le 1$.
Чтобы найти область значений для всего выражения, выполним соответствующие операции с этим неравенством:
1. Умножим все части неравенства на 5: $0 \cdot 5 \le 5\cos^2\alpha \le 1 \cdot 5$, что дает $0 \le 5\cos^2\alpha \le 5$.
2. Вычтем 3 из всех частей неравенства: $0 - 3 \le 5\cos^2\alpha - 3 \le 5 - 3$, что дает $-3 \le 5\cos^2\alpha - 3 \le 2$.
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -3 (достигается, когда $\cos^2\alpha = 0$, например, при $\alpha = \frac{\pi}{2}$), а наибольшее значение равно 2 (достигается, когда $\cos^2\alpha = 1$, например, при $\alpha = 0$).
Ответ: наименьшее значение: -3, наибольшее значение: 2.

2) Рассмотрим выражение $4\cos^2\alpha - \tan\alpha \cdot \cot\alpha$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения. Функция $\tan\alpha$ определена, когда $\cos\alpha \neq 0$. Функция $\cot\alpha$ определена, когда $\sin\alpha \neq 0$.
Следовательно, выражение имеет смысл только при условии, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$. Это означает, что $\alpha \neq \frac{k\pi}{2}$ для любого целого числа $k$.
В области допустимых значений произведение $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$, так как $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Тогда выражение упрощается до $4\cos^2\alpha - 1$.
Теперь найдем, какие значения может принимать $\cos^2\alpha$ с учетом ОДЗ.
Из условия $\cos\alpha \neq 0$ следует, что $\cos^2\alpha \neq 0$.
Из условия $\sin\alpha \neq 0$ следует, что $\sin^2\alpha \neq 0$. Так как $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, то $1 - \cos^2\alpha \neq 0$, что означает $\cos^2\alpha \neq 1$.
Таким образом, для допустимых значений $\alpha$ имеем строгое неравенство: $0 < \cos^2\alpha < 1$.
Теперь найдем множество значений выражения $4\cos^2\alpha - 1$:
1. Умножим неравенство $0 < \cos^2\alpha < 1$ на 4: $0 < 4\cos^2\alpha < 4$.
2. Вычтем 1 из всех частей: $0 - 1 < 4\cos^2\alpha - 1 < 4 - 1$, что дает $-1 < 4\cos^2\alpha - 1 < 3$.
Значения выражения лежат в интервале $(-1, 3)$. Это означает, что выражение может принимать значения, сколь угодно близкие к -1 и 3, но никогда их не достигает. Следовательно, у выражения нет наименьшего и наибольшего значений в строгом смысле (минимума и максимума). Однако оно ограничено снизу числом -1 и сверху числом 3.
Ответ: выражение не имеет наименьшего и наибольшего значений. Множеством значений выражения является интервал $(-1, 3)$.